1、2角的概念的推广Q在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险你能算出他们在一次原地转身的动作中转过的角度吗？X1角的概念角可以看成平面内_一条射线_绕着_端点_从一个位置_旋转_到另一个位置所形成的图形2角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按_逆时针方向旋转_形成的角负角按_顺时针方向旋转_形成的角零角一条射线_没有作任何旋转_，称它形成了一个零角3象限角、坐标轴上的角使角的顶点与_原点_重合，角的始边与_x轴的非负半轴_重合，那么，角的终边(
2、除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限4终边相同角的表示一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：_S|k360，kZ_，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的_整数_倍的和知识点拨1.(1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0360(0360是指0360)(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转
3、，始边与终边重合的角才是零角2理解集合S|k360，kZ要注意以下几点：(1)式中角为任意角；(2)kZ这一条件必不可少；(3)k360与之间是“”，如k36030应看成k360(30)，即与30角终边相同；(4)当与的终边相同时，k360(kZ)反之亦然Y1下列说法错误的是(D)A按逆时针方向旋转所成的角是正角B按顺时针方向旋转所成的角是负角C没有作任何旋转所成的角是零角D终边和始边相同的角是零角解析选项A、B、C分别是正角、负角、零角的概念，若射线旋转后，终边与始边重合所形成的角不是零角2下列命题中正确的是(D)A三角形的内角必是第一、二象限角B第一象限角必是锐角C不相等的角的终边一定不相
4、同D若k360(kZ)，则和终边相同解析90的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角，故A错；390的角是第一象限角，但它不是锐角，故B错；390角和30角不相等，但终边相同，故C不正确；对于D，由终边相同的角的概念可知正确3给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；615是第一象限角其中正确的命题有(C)A1个 B2个C3个 D4个解析正确，错误4在180360范围内，与2000角终边相同的角有_160，200_.解析因为20002005360，20001606360，所以在180360范围内与2000角终边相同的角有160，200两个5若将钟表拨慢了
5、10分钟，则时针转了_5_度，分针转了_60_度解析钟表拨慢10分钟，时针按逆时针方向转了105.分针转了1060.H命题方向1角的有关概念与表示典例1已知集合M第一象限角，N锐角，P小于90的角，则下面正确的是(D)AMNPBMPCMPND以上都不对思路分析从角的概念入手“第一象限角”是终边落在第一象限内的角，有正角，也有负角；“锐角”只是大于0而小于90的角；“小于90的角”除了锐角外，还有零角和所有负角解析M|k36090k360，kZ，N|090，P|90，故选D规律总结(1)要区分清易混的概念如锐角一定是第一象限的角，而第一象限角不全是锐角；(2)小于90的角是|90，显然包括锐角、
6、零角、负角跟踪练习1判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”(1)第一象限的角都是锐角()(2)终边相同的角一定相等()(3)第四象限角可以是负角()(4)三角形的内角必是第一、二象限的角()(5)435是第三象限角()命题方向2终边相同的角典例2已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角，且指出在0360范围内与其终边相同的角(1)420(2)75(3)855(4)510思路分析将已知角化成k360(kZ)，其中0360，再判断所处的象限解析作出各角的终边如下图所示：由图可知：(1)420是第一象限角；在0360范围内，6
7、0角与其终边相同(2)75是第四象限角；在0360范围内，285角与其终边相同(3)855是第二象限角；在0360范围内，135角与其终边相同(4)510是第三象限角；在0360范围内，210角与其终边相同规律总结象限角的判定有两种方法：一是根据图像，二是将角转化到0360范围内，利用图像实际操作时，依据的还是终边相同的角的思想跟踪练习2在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：(1)240(2)300(3)390(4)480.解析在直角坐标系中，作出以上各角，如下所示由图可知：(1)240角是第三象限角；(2)300角是第四象限角；(3)390角是第一象限角；(4)480角是第二
8、象限角命题方向3区域角及其求法典例3如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合思路分析观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合解析(1)由图可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60角，与l2终边相同的角有310角图阴影部分中角的集合为S|60k360310k360，kZ(2)由图知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1|45k36090k360，kZ第三象限内阴影部分中角的集合为S2|225k360270k360，kZ所求阴影部分中角的集合为SS1S2|452k180902k180，kZ|45(2k1)18090(
9、2k1)180，kZ|45n18090n180，nZ(3)由图知，逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有30角，与l1终边相同的角有30角图阴影部分中角的集合为S|30k36030k360，kZ规律总结数形结合是表示区域角的一种重要方法：首先应按逆时针方向由小到大找出一个代表区间角，再在两端加上k360(kZ)；若是对顶区域，如图可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角45，90，然后再在两边加上n180(nZ)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图，两边再加上k360(kZ)跟踪练习3如图所示(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终
10、边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解析(1)终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ，终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ(2)由图可知，阴影部分是由介于30，135之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30k360135k360，kZX分角、倍角所在角限的判断思路1已知角终边所在的象限，确定n终边所在的象限时，可根据角的范围求出n的范围，再直接转化为终边相同角即可注意不要漏掉n的终边在坐标轴上的情况2已知角终边所在的象限，确定终边所在象限时，运用分类讨论法时要对k的取值分k被n整除，k被n整除余1，k被n整除余2，k被n整
11、除余n1进行讨论，然后再下结论；运用几何法时，依据数形结合的思想，简单直观典例4若角是第一象限角，问、2、是第几象限角？思路分析解决这类问题有两种方法：分类讨论或几何法解析是第一象限角，k360k36090(kZ)(1)k36090k360(kZ)，所在区域与(90，0)范围相同，故是第四象限角(2)2k36022k360180(kZ)，2所在区域与(0，180)范围相同，故2是第一、二象限角或终边落在y轴的非负半轴(3)k120k12030(kZ)方法一：(分类讨论)当k3n(nZ)时，n360n36030(nZ)，是第一象限角；当k3n1(nZ)时，n360120n360150(nZ)，是
12、第二象限角；当k3n2(nZ)时，n360240n360270(nZ)，是第三象限角综上可知：是第一、二或第三象限角方法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1、2、3、4，则标有1的区域即为终边所落在的区域，故为第一、二或第三象限角规律总结本题常会出现两种错误：(1)由是第一象限角，仅得到090，仅得到是第一象限角，而丢掉是二、三象限的情况(2)2的范围包括y轴的非负半轴，容易遗漏跟踪练习4若是第二象限角，那么和90都不是(B)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析是第二象限角，k36090k360180，kZ，k18045k1809
13、0，kZ，即终边是第一或第三象限角，而显然是第三象限角，90是第四象限角，故选BY集合概念理解错误典例5已知集合A|k18045，kZ，集合B|k9045，kZ，则A与B的关系正确的是()AABBBACABDAB且BA错解k0时，集合A中角45，集合B中角45，BA，故选B辨析错解对集合概念理解错误应从集合中角的终边所在位置随k的变化入手解决，或用列举法解决正解C当k为偶数时，集合A中角的终边为一、四象限角的平分线，当k为奇数时，集合A中角的终边为二、三象限角的平分线，角的终边如图所示，故可以表示为k9045，AB，故选C规律总结(1)可直接用列举法A225，135，45，45，135，225
14、，B135，45，45，135，225，AB.(2)可从分析两集合中相等的角入手解决由k18045n9045得，n2k或n2k1，kZ，nZ，AB.跟踪练习5已知集合A|k18030k18090，kZ，集合B|k36045k36045，kZ求AB.解析如下图所示，AB中的角的始边和终边对应30和45角的终边，AB|k36030k36045，kZK1与457角终边相同的角的集合是(C)A|k360457，kZB|k36097，kZC|k360263，kZD|k360263，kZ解析457与97角终边相同，又97角与263角终边相同，又263角与k360263角终边相同，应选C2215是(B)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由于215360145，而145是第二象限角，则215也是第二象限角3下列各组角中，终边相同的是(B)A390，690B330，750C480，420D3000，8404若是第三象限角，则是(B)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析令120是第三象限角，则120是第二象限角5如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是(C)A|45120B|120315C|k36045k360120，kZD|k360120k360315，kZ解析如题图所示，终边落在阴影部分的角的取值是k36045k360120，kZ，故选C