1、单元质检卷八平面解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020四川宜宾第四中学高三月考)若点P(1,2)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线上,则该双曲线的离心率为()A.32B.52C.3D.52.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为()A.-1B.1C.1D.03.点A(cos ,sin )到直线3x+4y-4=0的距离的最大值为()A.15B.45C.1D.954.(2020福建高三月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点
2、F的直线交抛物线C于A,B两点,y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6,则|AB|=()A.5B.7C.10D.145.(2020广西桂平第五中学高三月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且F1PF2=60,若坐标原点O到直线PF1的距离为3a8,且椭圆C的焦距为27,则a=()A.8B.2C.4D.166.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知抛物线C:x2=2py(p0),直线l1:y=kx+t与抛物线C交于A,B两点(点A在点B右侧),直线l2:y=kx+m(mt)与抛物线C交于M,N两点(点M在点N右侧),直线AM与直线BN交于
3、点E,点E的横坐标为2k,则抛物线C的方程为()A.x2=yB.x2=2yC.x2=3yD.x2=4y7.(2020四川棠湖中学高三月考)已知F为双曲线G:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,l1,l2为双曲线的两条渐近线,过点F且垂直于l1的直线与l1,l2分别交于A,B两点,O为坐标原点,若AOB的面积SAOB=2ab,则双曲线G的离心率为()A.153或213B.62或2C.62或102D.6或1028.(2020湖南长沙高三模拟)已知F为抛物线y2=4x的焦点,点A在抛物线上,且|AF|=5,过点F的动直线l与抛物线交于B,C两点,O为坐标原点,抛物线的准线与x轴的交点为M
4、.给出下列四个说法:在抛物线上满足条件的点A仅有一个;若P为抛物线的准线上一动点,则|PA|+|PO|的最小值为213;无论过点F的直线l在什么位置,总有OMB=OMC;若点C在抛物线的准线上的射影为D,则B,O,D三点在同一条直线上.其中正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(kR),则下列结论正确的是()A.不存在k,使得l2的倾斜角为90B.对任意的k,l1与l2都有公共
5、点C.对任意的k,l1与l2都不重合D.对任意的k,l1与l2都不垂直10.(2020山东高三联考)已知F1,F2是双曲线C:y24-x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是()A.双曲线C的渐近线方程为y=2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为2D.MF1F2的面积为2311.已知P为椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2为椭圆E的左、右焦点,且F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是()A.点P的纵坐标为3B.F1PF22C.F1PF2的周长为4(2+1)D.F1PF2的内切圆的
6、半径为32(2-1)12.(2020海南高三大联考)已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线经过点M(-1,1),过抛物线C的焦点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则下列结论正确的是()A.p=2B.|AB|+|DE|的最小值为16C.四边形ADBE的面积的最小值为64D.若直线l1的斜率为2,则AMB=90三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线l:y=2x+10过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为.14.(2020湖北高三月考)如图,AB是平面的斜线段,
7、A为斜足,点C满足|BC|=|AC|(0),且在平面内运动,则以下几个说法:当=1时,点C的轨迹是抛物线;当=1时,点C的轨迹是一条直线;当=2时,点C的轨迹是圆;当=2时,点C的轨迹是椭圆;当=2时,点C的轨迹是双曲线.其中正确的是.(将所有正确说法的序号填到横线上)15.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有学生在平面直角坐标系中用三个圆组成“动漫鼠”的形象,如图,M(0,-2)是圆M的圆心,坐标原点O在圆M上,点P,Q均在x轴上,圆P与圆Q的半径都等于1,且圆P,圆Q均与圆M外切.(1)若直线l过点(0,-1),且圆Q均与直线l相切,则圆M被直线l所截得的弦长为;(2)若直线l过原点,且
8、圆P,圆Q,圆M被直线l所截得的弦长均为d,则d=.16.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆C2:x2+y2=b2,若椭圆C1上存在点P,过点P作圆C2的两条切线PA,PB(A,B为对应的切点),且满足APB=60,则椭圆最圆时的离心率e=.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020陕西绥德中学高三月考)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12,右焦点到直线p:xa+yb=1的距离d=217,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原
9、点O,求点O到直线l的距离.18.(12分)(2020湖南株洲二中高三月考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(0,-3),离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)设A,F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆E于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点).19.(12分)(2020安徽高三月考)已知M为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,且|F1F2|=2,F1MF2=3,F1MF2的面积为3.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l过椭圆C的右焦点F2,交椭圆C于A,B两点,AB的中点为Q,射线OQ交椭圆C
10、于点P,记AOQ的面积为S1,BPQ的面积为S2,若S2=3S1,求直线l的方程.20.(12分)(2020江西高三月考)已知动点P到定直线l:x=4的距离与到定点F(1,0)的距离之比为2.(1)求点P的轨迹C的方程.(2)已知点A(-2,0),在y轴上是否存在一点M,使得曲线C上另有一点B,满足|MA|=|MB|,且MAMB=-2516?若存在,求出所有符合条件的点M坐标;若不存在,请说明理由.21.(12分)(2020河南高三月考)已知O为坐标原点,点F(0,1),M为坐标平面内的动点,且2,|FM|,2OMOF成等差数列.(1)求动点M的轨迹方程.(2)设点M的轨迹为曲线T,过点N(0
11、,2)作直线l交曲线T于C,D两点,试问在y轴上是否存在定点Q,使得QCQD为定值?若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2020云南昆明高三一模)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M,N,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN|=4,D为旋杆上的一点,且在M,N两点之间,且|ND|=3|MD|,当滑标M在滑槽EF内作往复运动,滑标N在滑槽GH内随之运动时,将笔尖放置于D处可画出椭圆,记该椭圆为C.如图所示,设EF与GH交于点O,以EF所在的直线为x轴,以GH所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设A1,A2
12、是椭圆C的左、右顶点,P为直线x=6上的动点,直线A1P,A2P分别交椭圆C于Q,R两点,若四边形A1QA2R面积为33,求点P的坐标.参考答案单元质检卷八平面解析几何1.D由题意可知ba=2,则e=ca=1+b2a2=5.故选D.2.A方程x2+y2+2k2x+2y+4k=0可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1,故圆心坐标为(-k2,-1).因为圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,所以直线y=x经过圆心,所以-k2=-1,解得k=1.当k=1时,k4-4k+1a0时,如图,SAOB=SBOF-SAOF=12cabcb2-a2-12cabc=2ab,整理得5
13、a2=2c2,所以e=ca=102.当ab0时,如图,同理可得e=62.故选C.8.C对于,设点A的坐标为(a,b),由已知得抛物线的准线方程为x=-1,则|AF|=a+1=5,故a=4,所以点A的坐标为(4,4)或(4,-4).所以满足条件的点A有两个,故错误.对于,不妨设点A(4,4),则点A关于准线x=-1的对称点为A(-6,4),故|PA|+|PO|=|PA|+|PO|AO|=36+16=213,当且仅当A,P,O三点共线时,等号成立,故正确.对于,由题意知点M(-1,0),F(1,0),直线l的倾斜角不为0,故设直线l的方程为x=my+1(m0),设直线l与抛物线的交点坐标为B(x1
14、,y1),C(x2,y2),由x=my+1,y2=4x,整理得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1+x2=4m2+2,x1x2=1,所以kMB+kMC=y1x1+1+y2x2+1=y1(x2+1)+y2(x1+1)(x1+1)(x2+1)=2y1+2y2+2my1y2x1+x2+x1x2+1=24m-2m44m2+2+1+1=0.所以直线MB,MC的倾斜角互补,所以OMB=OMC,故正确.对于,由题意知点D(-1,y2),由知y1y2=-4,所以kOB=y1x1=4y1=-y2,kOD=-y2,即kOB=kOD,故B,O,D三点在同一条直线上,故正确.故选C.9.
15、BD对于动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(kR),当k=0时,斜率不存在,倾斜角为90,故A错误;联立x-y-1=0,(k+1)x+ky+k=0,可得(2k+1)x=0,当k-12时,此方程有解;当k=-12时,方程组有无数组解,此时l1与l2重合,可得对任意的k,l1与l2都有交点,故B正确,C错误;由于直线l1:x-y-1=0的斜率为1,动直线l2的斜率为k+1-k=-1-1k-1(k0),当k=0时,显然l1与l2不垂直,故对任意的k,l1与l2都不垂直,故D正确.故选BD.10.ACD由双曲线方程y24-x22=1知a=2,b=2,焦点在y轴上,渐近线方程为y=abx=2x,故A
16、正确;因为c=a2+b2=6,所以以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,故B错;由x2+y2=6,y=2x得x=2,y=2或x=-2,y=-2,由对称性知点M的横坐标是2,故C正确;SMF1F2=12|F1F2|xM|=12262=23,故D正确.故选ACD.11.CD由已知得a=22,b=2,c=2,不妨设P(m,n),m0,n0,则SF1PF2=122cn=3,n=32,故A错误;点P在椭圆E上,m28+(32)24=1,解得m=142,P142,32,|PF1|2=142+22+94=394+214,|PF2|2=142-22+94=394-214.|PF1|2+|PF2|2-|F
17、1F2|2=3942-16=720,cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|0,F1PF20),则a2+22=1+2,a=5,即Q(5,0),所以P(-5,0).(1)设直线l的方程为y+1=kx,即kx-y-1=0,由|5k-0-1|k2+1=1得k=0或k=52,则l的方程为y=-1或y=52x-1,当l的方程为y=-1时,圆心M到l的距离为1,所以弦长为222-12=23;当l方程为y=52x-1时,圆心M到l的距离为|0+4-2|(5)2+(-2)2=23,所以弦长为222-232=823.故圆M被直线l所截得的弦长为23或823.(2)因为直线
18、l过原点,所以设直线l方程为kx-y=0,点M到直线l的距离为21+k2,直线截圆M所得弦长为d=24-41+k2=4|k|1+k2,点P到直线l的距离为|5k|1+k2,直线截圆P所得弦长为d=21-5k21+k2=21-4k21+k2,由题意4|k|1+k2=21-4k21+k2,解得k2=18,所以d=21-4181+18=43.16.32连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆,APB=60,APO=BPO=30,在直角三角形OAP中,AOP=60,cosAOP=b|OP|=12,|OP|=2b,又b|OP|a,2ba,4b2a2,由a2=b2+c2,即4(a2-c2)a2
19、,3a24c2,即e32,又0e1,32e1,椭圆C的离心率的取值范围是32e0,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-8.又设Q(0,y0),则QC=(x1,y1-y0),QD=(x2,y2-y0),所以QCQD=x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=x1x2+(kx1+2-y0)(kx2+2-y0)=(k2+1)x1x2+k(2-y0)(x1+x2)+(2-y0)2=-8(k2+1)+4k2(2-y0)+(2-y0)2=(2-y0)2-8-4y0k2为定值,从而得y0=0,所以存在定点Q(0,0),使得QCQD为定值-4.22.解(1)由题得|MD|=1,
20、|ND|=3,所以椭圆C的长半轴长为3,短半轴长为1,故椭圆C的方程为x29+y2=1.(2)当t0时,设点P(6,t),则直线A1P的方程为y=t9(x+3),直线A2P的方程为y=t3(x-3).设Q(x1,y1),R(x2,y2).由x29+y2=1,y=t9(x+3)消去x,得(9+t2)y2-6ty=0,由于yA1=0,则y1=6t9+t2.由x29+y2=1,y=t3(x-3)消去x,得(1+t2)y2+2ty=0,由于yA2=0,则y2=-2t1+t2.所以四边形A1QA2R的面积为S=12|A1A2|y1-y2|=36t9+t2+2t1+t2=24t(t2+3)(9+t2)(1+t2)=24t(t2+3)(t2+3)2+4t2=24t2+3t+4tt2+3.由于t0,m=t2+3t23,当且仅当t=3时,等号成立,故S=24m+4m=33.解得m=23或m=233(舍去),即t=3.当t0时,由对称性可得t=-3.综上,当点P(6,3)或P(6,-3)时,四边形A1QA2R面积为33.