1、13三角函数的图象与性质13.1正弦函数的图象与性质第一课时正弦函数的图象与性质|目 标 索 引|1能正确使用“五点法”“几何法”和“图象变换法”作出正弦函数的图象，掌握“五点法”作图的技巧2理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.1五点法作图正弦曲线ysinx，xR上五个关键点为(0,0)，(，0)，(2，0)“五点法”作正弦函数的图象时，要注意图象的对称性和凸凹方向及在x0，2附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在x，附近函数变化慢一些，曲线变得“平缓”2正弦函数的周期性(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的
2、每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期的定义对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期3正弦函数的图象和性质函数ysinx图象定义域(，)值域1,1奇偶性奇函数周期性最小正周期：2单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减最值x2k(kZ)时，y最大值1；x2k(kZ)时，y最小值1对称性对称中心：(k，0)(kZ)对称轴l：xk(kZ)1y2sinx的值域是()A1,1 B.0,2C2,0 D.2,2答案：D2y1sinx，x0,2的图象与直线y2交点的个数是
3、()A0 B.1C2 D.3解析：y1sinx的图象如图所示，可知与y2有1个交点，故选B.答案：B3ysinx与ysin(x)的图象关于_对称答案：x轴，y轴作出函数ysinx，x，的简图，并完成下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：y0；y0.(2)直线y与ysinx的图象有几个交点【分析】因为要作函数的简图，所以采用五点法，根据自变量的取值范围，这五点应是(，0)，(0,0)，(，0)，要找y与图象的交点，需过点作x轴的平行线，再看它和图象的交点【解】利用五点法作图(1)根据图象可知图象在x轴上方的部分y0，在x轴下方的部分y0，即当x(，0)时，y0；当x(0，)时
4、，y0.(2)画出直线y，知有两个交点【知识点拨】“五点法”的实质是在函数ysinx的一个周期内，选取5个关键点：最高点、最低点及与x轴的交点，这五个点大致确定了函数一个周期内图象的形状函数f(x)|lg x|sinx的零点个数为_解析：在同一坐标系中做出y|lg x|与ysinx的图象，如图所示，可知y|lg x|与ysinx有4个交点，故f(x)|lg x|sinx的零点有4个答案：4(1)函数ysin2xsinx1的值域为()A1,1 B.C. D.【解析】令tsinx1,1，yt2t12.当t时，ymin，当t1时，ymax1，ysin2xsinx1的值域为，故选C.【答案】C(2)求
5、函数y2sin的最大值和最小值【解】x，02x，0sin1.当sin1时，ymax2；当sin0时，ymin0.【知识点拨】函数ysinx(xR)的值域为1,1；ysinx(xR)需要作出ysinx的图象，结合图象，求值域；yAsin2xBsinxC型的函数，利用换元法转化为二次函数求值域已知函数ysinx的定义域为a，b，值域为1,1，则ba的值不可能是()A. B.C. D.2解析：函数ysinx的周期为2，若值域为1,1，则ba，故ba的值不可能是，故选A.答案：A函数f(x)2sin取得最大值时的x的集合为_解析：f(x)2sin2，当f(x)2时，2x2k，kZ，xk，kZ，f(x)
6、取得最大值时x的集合为.答案：(1)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sinx，则f的值为()A B.C D.(2)函数ysin的一个单调增区间是()A. B.C. D.(3)下列关系式中正确的是()Asin11cos10sin168Bsin168sin11cos10Csin168cos10sin11Dsin11sin168cos10【解析】(1)由题可得ffffsin，故选B.(2)由题可得2kx2k，kZ，2kx2k，kZ，当k0时，x，故是ysinx的一个增区间故选C.(3)sin168sin(18012)sin12，cos10s
7、in80，函数ysinx在上是增函数，sin11sin12sin80，即sin11sin168cos10，故选D.【答案】(1)B(2)C(3)D【知识点拨】(1)利用正弦函数的单调性比较大小，若是同名函数，则将两个自变量的值放在同一单调区间，根据单调性判断，若不是同名函数，则先化为同名函数再依据函数的单调性进行比较(2)对函数周期性的理解，如果函数f(x)是周期为T的函数，则f(x)对定义域内任意一个x值，都满足f(xT)f(x)，一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个；若T是函数的周期，则kT(kZ，k0)也是函数f(x)的周期求下列函数的周期：(1)f(x)2s
8、in；(2)f(x)|sinx|sinx.解：(1)在f(x)2sin中，T4.(2)作出y|sinx|sinx的图象由图象可知y|sinx|sinx的周期为2.比较下列各组数的大小：(1)sin194和cos160；(2)sin和cos.解：(1)sin194sin(18014)sin14.cos160cos(18020)cos20sin70.0147090，sin14sin70.从而sin14sin70，即sin194cos160.(2)cossin，又，ysinx在上是减函数，sinsincos.即sincos.1下列函数不是奇函数的是()Aysinx B.ysin2xCysinx2 D
9、.ysinx答案：C2(2018全国卷)若f(x)cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B.C. D.解析：因为f(x)cosxsinxcos，所以由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，因为a，a，所以aa，a，a，所以0a，即a的最大值为，故选A.答案：A3函数ycosx|tanx|的大致图象是()解析：ycosx|tanx|故选C.答案：C4已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)()A0 B.2.5C D.3.5解析：由f(x2)，得f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，f(105.5)f(2641.5)f(1.5)f(1.5)f(2.5)2.5，故选B.答案：B5函数ysin2x2sinx的值域是_解析：ysin2x2sinx(sinx1)21，sinx1,1，y1,3答案：1,3