1、1.2.2单位圆与三角函数线|目 标 索 引|1了解三角函数线的意义2会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.三角函数线三角函数线，如图，已知角的终边位置则由三角函数的定义可知点P的坐标为(cos，sin)点T的坐标为(1，tan)其中sinMP，cosOM，tanAT.把有向线段MP、OM、AT叫做的正弦线、余弦线和正切线1如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()AMPOM0 B.MP0OM0 D.OMMP0解析：如图所示：OMMP0，故选D.答案：D2比较大小：sin_cos.答案：的解集为_答案：分别作出和的正弦线、余弦线和正切线【分析】利用单位圆中三角函数线
2、的作法作图【解】在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PMOx轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sinMP，cosOM，tanAT.即的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.同理可作出的正弦线、余弦线和正切线，如图sinM1P1，cosO1M1，tanA1T1.即的正弦线为M1P1，余弦线为O1M1，正切线为A1T1.【知识点拨】三角函数线的几点说明(1)三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条
3、在单位圆内，一条在单位圆外(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与的终边(或反向延长线)的交点(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前面，终点字母在后面作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：(1)；(2)；(3)；(4).解：作角的正弦线、余弦线、正切线的关键是画出单位圆和角的终边如图，各个单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线(1)三角函数值sin1，sin2，sin3的大小顺序是()Asin
4、1sin2sin3 B.sin2sin1sin3Csin1sin3sin2 D.sin3sin2sin1【解析】在直角坐标系中作出单位圆，作出sin1，sin2，sin3所对应的三角函数线M1P1，M2P2，M3P3，如图所示：则M2P2M1P1M3P3，sin2sin1sin3，故选B.【答案】B(2)用三角函数线证明：若，则sintan.【分析】利用单位圆中角的正弦线、正切线所对的弧长及有关图形的面积，列出不等式进行证明【证明】如图所示，在单位圆中，设POA，作PMOA于M，过A作O的切线AT，交OP于T，则MPsin，ATtan.连接AP，由图得SOAPS扇形OAPSOAT，即|OA|M
5、P|OA|2|OA|AT|，sintan.【知识点拨】利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大小：作出角的终边与单位圆的交点；作出三角函数线；比较三角函数线的长度大小，但要注意符号若0，则sin，cos，tan的大小关系是()Asincostan B.sintancosCtansincos D.以上都不是解析：如图所示，在单位圆中，sinMP0，tanATAT，tansincos，故选C.答案：C在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合(1)sin；(2)cos.【分析】先作出满足sin，cos的角的终边，然后根据已知条件确定角的终边的范围【解】(1)如图(1)，作直线y
6、交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，siny，角的终边与单位圆的交点在直线y之上，即在上则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围故满足要求的角的集合为.(2)如图(2)，作直线x交单位圆于C、D两点，连接OC与OD.cosx，角的终边与单位圆的交点在直线x的左侧，即在上则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.【知识点拨】利用三角函数线解不等式作出取等号的角的终边，及所对的三角函数线；在单位圆中确定满足不等式的角的范围；将图中的范围用不等式表示出来利用单位圆中的三角函数线，求满足的x的取值范围解：由得如图所示，由三角函数线可得2kxsin
7、，那么下列说法正确的是()A若，是第一象限角，则coscosB若，是第二象限角，则tantanC若，是第三象限角，则coscosD若，是第四象限角，则tantan解析：若，是第一象限角，则coscos；若，是第二象限角，则tantan；若，是第三象限角，则costan，故选D.答案：D4(2018北京卷)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若tancossin，故A选项错误；当点P在上时，cosx，siny，tan，tansincos，故B选项错误；当点P在上时，cosx，siny，tan，sincostan，故C选项正确；当点P在上且在第三象限时，tan0，sin0，cos0，故D选项错误综上，故选C.答案：C5不等式sinx的解集为_解析：如图所示，sinx的解集为x2kx2k，kZ.答案：