1、4.3.2 对数的运算 baN loga Nb底底指数对数幂真数上一节中我们学习了：1.指数和对数的关系 2.对数的性质：log 10a log1a a（1）负数和零没有对数（2）（3）(,)(,)()(,)()()mnm nmm nnmnmnnnnaaam nRaam nRaaam nRababnR已知指数运算法则：对数是否也有自己的运算法则呢？1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行化简、求值和证明；（重点）2.学习用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.（难点）3.了解对数在简化运算中的作用.通过对数的运算性质及换底公式的运用，培养数学运算的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新
2、知识的营养，让我们一起吧！进走课堂,pqMaNa微课1：对数的运算性质 pqp qM Naaa思考1：化为对数式，结合指数的运算性质能否将 化为对数式？将指数式 这两个对数式有何关系？试一试:由,pqMaNa得log,logaapM qN由pqp qM Naaa 得log()apqM N从而得出 log()loglogaaaM NMN(0,1,0,0)且aaMN思考2：结合前面的推导，由指数式 pp qqMaaNa又能得到什么样的结论？试一试:由 pp qqMaaNa得 logloglogaaaMpqMNN(0,1,0,0)且aaMN()npnnpMaa又能得到什么样的结论？试一试:由()np
3、nnpMaa得 loglognaaMnpnM(a0,a1,M0,nR)且思考3：结合前面的推导，由指数式 思考4：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗?logloglogcacNNa(a0,且a1;c0,且c1;N0)证明：设 由对数的定义可得：,pNa即证得 loga NploglogpccNaloglog,ccNpaloglogccNpalogloglogcacNNa这个公式叫做换底公式 log()loglogaaaM NMNlogloglogaaaMMNN loglognaaMnMlogloglogcacNNa0,0,)MNnR结论：对数的运算性质(a0,且a1;c0,且c1;若
4、alg 2，blg 3，则 100a-2b的值为_【即时训练】【解析】alg 2，10a2.blg 3，10b3.100a-2baab11b22210 10 22 3.310(10)3 231.log,log,log1 log;(2)logaaaaaxyzxyxyzz例 用表示下列各式 22332 logloglogaaaxyxyzz112logloglog23aaaxyz23logloglogaaaxyz 1 loglogloglogloglog:aaaaaaxyxyzxyzz 解对数运算性质的应用牢记对数的运算法则，直接利用公式.【解题关键】1、用 表示下列各式:lg,lg,lgxyz23
5、2(1)lg();(2)lg;(3)lg;(4)lg.xyxyzzxyxy zz【变式练习】22(2)lglg()lgxyxyzz33(3)lglg()lgxyxyzz2(4)lgxy z(1)lg()lglg()xyzxyz解：lglglgxyzlg2lglgxyz1lg3lglg2xyz2lglg()xy z1 lg2lglg2xyz2、若 log2log3(log4x)log3log4(log2y)log4log2(log3z)0，则 xyz_.因为 log2log3(log4x)0，所以 log3(log4x)1，所以 log4x3，所以 x4364.同理可得 y16，z9，所以 xy
6、z6416989.89【解析】例2 求下列各式的值：（1）（2）752log(42)5lg 100（2）5lg 10025lg1025解：(1)752log(42)72log 452log 227log 425log 27 25 1 19 对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是:(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).【提升总结】（1）（2）（4）（3）1.求下列各式的值：33log 5log 15lg5lg2551log 3log 322log 6log 3226loglog 213lg(5 2)lg101551log(3
7、)log 1031335loglog 3115【变式练习】收成商收成积23454839(1)loglog(2)log 3 log 4 log 5 log 2(3)(log 3log 3)(log 2log 2)acca(1)loglogacca解:lglg1;lglgcaac2345(2)log 3 log 4 log 5 log 2lg3 lg4 lg5 lg21;lg2 lg3 lg4 lg52.利用对数的换底公式化简下列各式 4839(3)(log 3log 3)(log 2log 2)232lg3lg3lg2lg2()()lg2lg2lg3lg3lg3lg3lg2lg2()()2lg2
8、3lg2lg32lg35lg3 3lg25.6lg2 2lg34lg3lg3 lg2lg2()()lg4lg8lg3lg9log?a Nalog.babNaN令，则log.a NbaaN则loga NaN对数的性质微课2：对数的性质 2log 55log2的值为（）.A.-5 B.5 C.1 D.2C【即时训练】0lglgMAA其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.例3.20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了 一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录
9、的地震 曲线的振幅就越大.这就是我们常说的 里氏震级M.其计算公式为 （1）假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.解:(1)420lg20lg0.001lglg20 0000.001lg2lg104.3M因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由 0lglgMAA可得 000lg1010.MMAAMAAAA差收成商当M=7.6 时，地震的最大振幅为 7.610 10AA，当M=5时，地
10、震的最大振幅为 520 10AA，所以，两次地震的最大振幅之比是 7.67.6 52.60152010101039810AAAA.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的 398倍 可以看到，虽然7.6 级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的 398倍.所以,7.6 级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.234567bac11 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8,2 log alog c log b;、利用换底公式，计算下列各式的值；（）（）234567(1)log 3 log 4 log 5 log 6
11、 log 7 log 8解：lg3 lg4 lg5 lg6 lg7 lg8lg2 lg3 lg4 lg5 lg6 lg7lg8lg23lg2lg23lg2lg23baclga lgc lgb(2)log alog clog blgb lga lgc1【变式练习】2、若 loga Nb(a0 且 a1)，则下列等式正确的是()ANa2b BN2ab CNb2a DN2ab A 例4.生物机体内碳14的“半衰期”为5 730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残 余量约占原始含量的76.7，试推算马王 堆古墓的年代.还记得半衰期是什么吗？死亡年数t 碳14含量P 1 x 2 x2 3 x3 t
12、 xt 解：设生物死亡时，每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：因此，生物死亡t年后体内碳14的含量 5 73012 又由题意有xtPx 两个变量的关系的建立是解题关键5 7301142 这样生物死亡 年后体内碳的含量（）ttP 5730 12log 即对数形式为tP0 767.而P 由计算器可得t2 193.所以，马王堆古墓是近2 200年前的遗址.5 730 12log0.767 t15 7305 730 1122 于是（）x 对数的运算 注意对数的运算性质的形式 转化思
13、想：对数的运算性质可以把乘，除，乘方运算转化为加，减，乘运算 数学运算：通过对数的运算性质及换底公式的运用，培养数学运算的核心素养 运算性质 实际应用 换底公式 1.（log29）（log34）=（）11A B C 2 D 44223lg9lg42lg32lg2log 9log 44lg2lg3lg2lg3（）（）【解析】选D.D 不同底数的对数运算要考虑换底公式2、若12xlog m，log 14 ym2，求 的值【解析】12xlog m(12)mx，x2(12)2m.log 14ym2，(14)m2y.y(12)2m4x2y 122m122m4(12)416.2xy3331lg 2lg 5
14、;(2)log 45log 5.不用计算器，求下列各式的值；（）(1)lg 2lg 5lg(25)解：lg 1012lg101 lg1021233345(2)log 45log 5log53log 923log 332log 324.(2017北京高考文科T8)同(2017北京高考理科T8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 MN 最接近的是(参考数据:lg30.48)()A.1033 B.1053C.1073 D.1093【解析】选 D.因为 MN=36180310=361lg3801010=lg 3361801010,因为 lg30.48,所以 361lg3173,所以 MN=178801010=1093.不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。