1、2.1绝对值不等式1理解含有绝对值的不等式的性质2掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义3能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题，并认识不等式证法的多样性、灵活性1实数的绝对值的概念(1)定义：|a|(2)|a|的几何意义：|a|表示数轴上实数a对应的点与原点之间的_(3)两个重要性质：()|ab|_；_；()|a|b|a2_b2(4)|xa|的几何意义：数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的_，或数轴上表示xa的点到_的距离(5)|xa|的几何意义：数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的_，或数轴上表示xa的点到原点的_【做一做1】解不等式|x1|2x3|22绝对值不等式的
2、定理(1)定理：对任意实数a和b，有|ab|_，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理的另一种形式：对任意实数a和b，有|ab|a|b|，当且仅当_时，等号成立(1)绝对值不等式的完整形式：|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|(2)绝对值不等式的一般形式：|a1a2an|a1|a2|an|(nN)【做一做2】已知|xa|，|yb|，求证：|(xy)(ab)|c3|ab|a|b|的几何意义(1)如图所示，当a，b同号时，它们位于原点的同一边，此时a与b的距离_它们到原点的距离_(2)如图所示，当a，b异号时，它们分别位于原点的两边，a与b的距离_a与b到原点的距离_【做一做3】若不等
3、式|x4|x3|a对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_答案：1(1)a0a(2)距离(3)()|a|b|()(4)距离原点(5)距离距离【做一做1】分析：解含有绝对值的不等式，利用|a|将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解解：令x10，得x1令2x30，得x，如图(1)当x1时，原不等式可化为(x1)(2x3)2，解得x2，与条件矛盾，无解(2)当1x时，原不等式可化为x1(2x3)2，解得x0，故0x(3)当x时，原不等式可化为x12x32，解得x6，故x6综上，原不等式的解集为x|0x62(1)|a|b|(2)ab0【做一做2】分析：利用不等式
4、的性质证明即可证明：|(xy)(ab)|(xa)(yb)|xa|yb|xa|，|yb|，|xa|yb|c由，得|(xy)(ab)|c3(1)等于之和(2)小于之和【做一做3】1，)设f(x)|x4|x3|，则f(x)a对一切xR恒成立，只需af(x)max因为|x4|x3|(x4)(x3)|1，当且仅当x3时等号成立，即f(x)max1，所以a11对绝对值不等式的理解剖析：绝对值不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a|b|ab|a|b|和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab0，ab0，ab0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数的符号在各种
5、情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯2绝对值不等式的几何意义剖析：用向量a，b替换实数a，b时，问题就从一维扩展到二维，当向量a，b不共线时，ab，a，b构成三角形，有|ab|a|b|当向量a，b共线时，a，b同向(相当于ab0)时，|ab|a|b|；a，b异向(相当于ab0)时，|ab|a|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆，并有利于定理的应用题型一利用绝对值不等式证明不等式【例1】设m等于|a|，|b|和1中最
6、大的一个，当|x|m时，求证：2分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用判断|a|，|b|和1这三个数中哪个最大如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m|a|、m|b|、m1从而利用这一条件证题反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m等于|a|，|b|和1中最大的一个”转化为符号语言“m|a|，|m|b|，m1”，这是证明本题的关键题型二利用绝对值不等式求最值【例2】求函数y|x1|x4|
7、的最大值和最小值分析：可以利用绝对值不等式的性质进行变形来解，也可以把绝对值号去掉，转化成分段函数，分别求出最值，最后取并集反思：对于含有两个及两个以上的绝对值代数式，把其利用各零点转化成分段函数，再利用分段函数的性质分别进行分析是很好的方法答案：【例1】证明：|x|m|a|，|x|m|b|，|x|m1，|x|2|b|2故原不等式成立【例2】解：解法一：5，5|x1|x4|5当且仅当即x4时，|x1|x4|5中的等号成立当且仅当即x1时，|x1|x4|5中的等号成立ymax5，ymin5解法二：把函数看作分段函数y|x1|x4|当1x4时，52x35y5,5，ymax5，ymin51若|xa|
8、m，|ya|n，则下列不等式一定成立的是()A|xy|2m B|xy|2n C|xy|nm D|xy|nm2设ab0，下面四个不等式中，正确的是()|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a|b|A和 B和 C和 D和3若a，bR，且满足|a2b|b|，则下列各式中正确的是()Aa3b Bab C|a|b| D|b|a|3|b|4求证：答案：1D|xy|xa(ya)|xa|ya|mn2Cab0，a，b同号，|ab|a|b|，和正确3D|b|a2b|a|2|b|，|a|3|b|又|a2b|2ba|，|b|2ba|2|b|a|a|b|综上，知|b|a|3|b|4证明：(1)当|ab|0时，显然原不等式成立(2)当|ab|0时，0|ab|a|b|，原不等式成立