1、天津市耀华中学20202021学年度第一学期期末考试高二年级数学学科试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上1. 抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由方程求出可得焦点坐标【详解】由题意，所以焦点坐标为故选：A2. 若双曲线（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则的实轴长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据共渐近线的双曲线系方程可设，代入可求得双曲线方程，根据双曲线方程可求得实轴长.【详解】双曲线与有相同的渐近线，可设双曲线的方程为，将代入可得：，
2、双曲线的方程为，的实轴长为.故选：B.【点睛】结论点睛：与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：.3. 已知等比数列中，则公比q=（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由即可求出.【详解】，即，解得.故选：B.4. 在等差数列中，则（ ）A. 72B. 60C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可知：由，可得，所以可求出，再次利用此性质可以化简为，最后可求出的值.【详解】根据等差数列的性质可知：，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.5. 数列满足，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用
3、等差数列前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求解.【详解】依题意得：，故选：B6. 已知双曲线渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易得利用双曲线的离心率为即可求解【详解】解：双曲线的渐近线方程为，所以则双曲线的离心率为故选：【点睛】本题考查了双曲线的渐近线、离心率，属于基础题7. 已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线，求得，得到，再由焦点到渐近线的距离为，求得，进而得到，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】
4、由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，即，又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，所以焦点到距离为，所以，又由，所以双曲线的方程为.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由e=2得4=1+,=3.双曲线的渐近线方程为y=x,抛物线x2=2py的焦点是（0,）,它到直线y=x的距离d=2=,p=8.抛物线方程
5、为x2=16y.故选D.9. 在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（ ）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】A【解析】【分析】由题可得，则，可判断，即可得出结果.【详解】前n项和有最大值，使得的最大值n为15.故选：A.【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作OA于点A，于点B，可得，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA于点A，于点B，与圆相切，又点M在双曲线
6、上，整理，得，双曲线渐近线方程为故选A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上11. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为_【答案】【解析】试题分析：由题意得：抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=因为点M（1，m）到其焦点的距离为5，所以根据抛物线的定义得到方程，得到该抛物线的准线方程详解：抛物线方程为y2=2px抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=，又点M（1，m）到其焦点的距离为5，p0，根据抛物线的定义，得1+=5，p=8，准线
7、方程为x=4故答案为x=4点睛：本题主要考查了抛物线简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.12. 已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为_.【答案】【解析】【分析】圆的半径就是c，再由点(3,4)在渐近线上可得，这样可求得，得双曲线方程【详解】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线yx上，因此有，解得所以此双曲线的方
8、程为故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，寻找两个等式是必由之路本题中两个已知条件：圆的半径等于双曲线的半焦距，点(3,4)在渐近线上联立后可解得得双曲线方程13. 等差数列的前n项和为，若，则_【答案】【解析】【分析】结合已知条件，利用等差数列的求和公式求得公差，然后再由等差数列的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以.故答案为：.14. 在等比数列中，则值为_【答案】6【解析】【分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算【详解】因为是等比数列，所以，故答案为：615. 已知数列满足则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先利用累加法求出an33+n2n
9、，所以，设f（n），由此能导出n5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：an+1an2n，当n2时，an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a121+2+（n1）+33n2n+33且对n1也适合，所以ann2n+33从而设f（n），令f（n），则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+，所以当n5或6时f（n）有最小值又因为，所以的最小值为故答案为 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性16. 已知数列与前n项和分别为，且，对任意，恒成立，则k的最小值是_【答案】【解析】【分析】首先利用与的
10、关系式，求数列的通项公式，再利用裂项相消法求，再利用的最值求的最小值.【详解】当时，解得或，当，两式相减后可得，整理后得：，所以，数列是公差为1的等差数列，即， ，数列单调递增，当时， 对任意的，恒成立，即,的最小值是.故答案为：【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、解答题本大题共3小题，共36分
11、，将解题过程及答案填写在答题卡上17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上(不含端点)是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）.（3）存在，【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，可证，从而得线面平行；（2）由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，可用向量法求出线面角；（3）在（2）基础上，设，求出平面和平面（2）中已有）法向量，由法向量夹角与二面角的关系可求得【详解】（1）连接交于点，连接.是平行四边形，是的
12、中点.又是的中点， 又平面，平面，平面；（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为.，即不妨取，得 又.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为（3）假设在线段上(不含端点)存在一点，使得二面角的余弦值为.连接.设， 得.设平面的法向量为.，即不妨取，得 设二面角的平面角为，则.化简得，解得，或.二面角的余弦值为，.在线段上存在一点，且，使得二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求线面角和二面角，用线面平行的判定定理证线面平行是证明线面平行的掌握方法在图形中有两两相互垂直的三条直线时，常常是建立空
13、间直角坐标系，用空间向量法研究空间角这种方法化证明为计算，减少学生的逻辑思维量，但增加了计算量18. 已知数列的前项和为，当时，数列中，直线经过点.（1）求数列、的通项公式和；（2）设，求数列的前项和，并求的最大整数.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，将点的坐标代入直线的方程，可得出数列为等差数列，确定该数列的首项和公式，进而可求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列的前项和，再利用数列的单调性可求出使得不等式成立的最大正整数的值.【详解】（1）对任意的时，.当时
14、，可得，可得；当时，由可得出，两式作差得，整理得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.因为直线经过点，则，可得.又，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则；（2），得，则数列为单调递增数列，且，因此，使得的最大整数的值为.【点睛】本题考查利用求、等差数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于A，B两点，点P的坐标为，且，求实数m的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由离心率可得，再将点代入椭圆上，即可求出；（2）联立直线与椭圆方程，得出韦达定理，代入即可求出.【详解】（1）椭圆的离心率，则，点在椭圆上，解得上，则，椭圆的方程为（2）设A，B的坐标为，联立，得，即，整理得，解得，满足，故.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.