1、2.3.1 双曲线及其标准方程数 学 实 验 1取一条拉链，2如图把它固定在板上的两点F1、F2 3 拉动拉链（M）思考拉链运动的轨迹 差 等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的动画演示双曲线的定义：平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（02aF1F2）的点的轨迹是双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，用2c来表示F2F1MxOy若 PF1 PF22a(02a F1F2)，则P的轨迹是双曲线若2a0，则轨迹是F1F2的中垂线若2a F1F2，则轨迹是以F1、F2为端点的两射线若2a F1F2，则轨迹不存在 设M（x,y）是双曲
2、线上任意一点,双曲线的焦距为2c（c0）,则F1(-c,0),F2(c,0)常数=2a 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系1.建系.设点 2.列式 3.化简.yoMF2F1aycxycx2)()(2222即aMFMF221x双曲线的标准方程222222ycxaycx)(2)(222ycxaacx)(oF2FMyx1222bac)()(22222222acayaxac0)b0,(a12222byaxaycxycx2)()(222212222 byax12222 bxayF2F1MxOy)00(ba，双曲线的标准方程OMF2F1xy（1）双曲线的标准方程用减号“-
3、”连接；（2）双曲线方程中a0,b0,但a不一定大于b说明：（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB0)F(c,0)12222 byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1MF(0,c)定 义方 程焦 点a.b.c的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭圆双曲线F（0，c）F（0，c）
4、22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab练习 判断下列各双曲线方程焦点所在的坐标轴；求a、b、c各为多少？22(2)12516yx练习写出双曲线的标准方程1、已知a=3,b=4焦点在x轴上，双曲线的标准方程为2、已知a=3,b=4焦点在y轴上，双曲线的标准方程为3、a=52,经过点A(2，5),焦点在y轴上。若双曲线上有一点，且|F1|=10,则|F2|=_例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.4或16变式训练:已知两定点1
5、(5,0)F,2(5,0)F,动点 P 满足 126PFPF,求动点 P 的轨迹方程.解：126PFPF焦点为12(5,0),(5,0)FF 可设双曲线方程为:22221xyab (a0,b0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16.所以点 P 的轨迹方程为221916xy(3)x.1210F F 6,由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是双曲线的一支(右支),方程表示双曲线时，则m的取值范围是_.11mym2x22变式:2m1m或例2.已知A、B两地相距800m，在A处听到炮弹爆炸声的时间比在B处晚2s,且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程例题3：已知两点A（5,
6、0）B（5，0），动点M满足KAMKBM 。求M点的轨迹。94思考：已知F1、F2为双曲线的焦点，弦MN过F1且M,N在同一支上，若|MN|=7,求MF2N的周长.191622 yxF2F1MNxyo思考：已知双曲线16x2-9y2=144求焦点的坐标；设P为双曲线上一点，且|PF1|PF2|=32，求；设P为双曲线上一点，且 F1PF2=120，求.21PFFS21PFFS2.3.2 双曲线的简单几何性质2、对称性双曲线的几何性质)0,0(12222babyax1、范围22222211,xyxaabxaxa 得或关于x轴、y轴和原点都是对称的.。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心.双
7、曲线的对称中心叫做双曲线的中心.Ry.yB2A1A2B1xOF2F13、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo1B2B1A2A)0,()0,(21aAaA、顶点是如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做半实轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长2A1A2B1B（3）22120,0,0,yybyBbBby（2）令得这个方程没有实数根 说明 双曲线与 轴没有交点 但我们也把 画在 轴上1A2A1B2Bxyoxaby xabya4、渐近线MNP22221byxaxyab(1)两条直线叫做双曲线的渐近线(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.22y
8、a2xyx 渐近线方程为5、离心率e反映了双曲线开口大小e越大双曲线开口越大e越小双曲线开口越小cea1A2A1B2Bxyobyxa byxa(1)ca焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,记作e.（3）离心率范围：（2）离心率的几何意义：e1abtanba 21ba 关于x轴、y轴、原点对称 图形方程范围对称性顶点离心率)0(1babyax2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay.yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2
9、(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby如何记忆双曲线的渐进线方程？例1、（1）求双曲线9y216x2=144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）求双曲线9y216x2=144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点(3,2 3)；例2:求双曲线的标准方程：“共渐近线”的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，0表示焦点在x轴上的双曲线；0表示焦点在y轴上的双曲线。练习：1.求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为xy3
10、0 的双曲线方程。2、求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。22185xy例3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此 双曲线的方程(精确到1m).AA0 xCCBBy131225例4、.45516:)05()(的轨迹，求点距离的比是常数的的距离和它到定直线，与定点，点MxlFyxM解：xyl.FOM的距离，则到直线是点设lMd45|dMFd.45|516|)5(22xyx即化简.14416922yx191622 yx方程化为.关于x轴、y轴、原点对称 图形方程范围对称性顶点离心率)0(1babyax2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay.yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby如何记忆双曲线的渐进线方程？
