1、广东省罗定第二中学2020届高三数学上学期期末教学质量检测试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为虚数单位，且，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为，即，因为为虚数单位，所以，故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.2.设集合S=x|x2+2x=0,xR,T=x|x2-2x=0,xR,则ST等于()A. 0B. 0,2C. -2,0D. -2,0,2【答案】A【解析】集合运算问题需先对集
2、合进行化简,明确集合中所含具体元素,因S=0,-2,T=0,2,所以ST=0.故选A.3.已知函数，若，则实数a等于（ ）A. B. C. 2D. 9【答案】C【解析】【分析】由内层开始计算，解方程即可求解.【详解】，解得.故选: C.【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于容易题.4.“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】数列既是等差数列又是等比数列，则可知是常数列，所以充分性成立；若是常数列，则不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常
3、数列”的充分不必要条件，故选A5.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据定义域及特殊点可判断.【详解】解：的图象与轴交于，且点的纵坐标为正，故，定义域为其函数图象间断的横坐标为正，故.故选：【点睛】本题考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题.6.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩小于139分钟 运动员人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由系统抽样的定义，所抽取的样本编号成等差数列，由此可
4、知小于139分的能抽取的人数【详解】共有35人，抽取7人，每5人中抽取一个，小于139分的有10人，应制取2人故选：B【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的定义是解题基础一般系统抽样制取出的样本的编号是成等差数列的7.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分子分母同除，化简即可得出答案.【详解】分子分母同除得：故选：A【点睛】本题主要考查了弦化切来求三角函数值，属于基础题.8.若实数满足，则的最大值和最小值分别为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由不等式组作出可行域，令，数形结合求出的最大值和最小值【详解】解：由作可行域如图，令，则，由图可知，当
5、过时，截距最大，最大值为；当过时，截距最小，最小值为的最大值和最小值分别为2，故选：【点睛】本题考查线性规划问题，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法属于中档题9.在四边形（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，.或者注意到分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.10.如图，四棱锥的底面为正方形，则下列结论中不正确的是（ ）A. B. C. 平面平面D. 【答案】D【解析】【分析】由底面正方形及，确定线线间的垂直关系，判断各个结论的正确性【详解
6、】，在平面的射影与垂直，则，A正确；在平面的射影与垂直，则，B正确；利用上述垂直可得平面，从而有平面平面，C正确；若，则垂直在平面内射影，这是不可能的，D错误故选：D【点睛】本题考查空间的线线的垂直与面面垂直的判断，掌握三垂线定理及其逆定理是解题基础11.已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】A【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y22px
7、的准线方程为，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，由双曲线的性质，可得b=1；则，则焦距为2c=2；故选A12.已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】， ，又是中点，即，解得，故选：A【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理，考查向量的线性运算解题关键是是利用向量线性运算把表示为，平方后易求得二、填空题：本题共4小题，每小题
8、5分，共20分.13.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为_【答案】【解析】【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.14.已知函数的图象关于直线对称，则的值是_【答案】.【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A0,0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.15.若数列满足，则_【答案】【解析】【分析】本题通过递推式直接将代入在依次类推则可得出【详解】因为，所以，所以，通过观察上式得【点睛】本题考察递推式的应用，若在选择填空题中遇到则可以通过一次类推或找规律求解16
9、.已知抛物线上有三点，直线，的斜率分别为，则的重心坐标为_.【答案】【解析】【分析】设出点的坐标，由斜率公式以及抛物线方程得出，的值，再由重心坐标公式得出答案.【详解】设，则，得同理，故有，且，则的重心为.故答案：【点睛】本题主要考查了斜率公式的应用以及求三角形的重心坐标，属于中等题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足.若，求的值.【答案】（1）；（2）63【解析】【分析】（1）求出公差和首项，可得通项公式；（2）由得公比，
10、再得，结合通项公式求得.【详解】（1）由题意等差数列的公差，；（2）由（1），.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.18.如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求四面体的体积.【答案】()证明见解析；().【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（）因
11、为平面，为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积.【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解19.某地区2020年清明节前后3天每天下雨的概率为60%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率：用随机数（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨，从
12、随机数表中随机取得20组数如下332 714 740 945 593 468 491 272 073 445992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量（单位：）如下表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.时间2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年年份123456789降雨量292826272523242221经研究表明：从2011年开始至2020年， 该地区清明节有降雨的年份的降
13、雨量与年份成线性回归，求回归直线，并计算如果该地区2020年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）参考公式：.参考数据：，.【答案】（1），概率为；（2）回归直线方程为：，2020年清明节有降雨的话，降雨量约为【解析】【分析】（1）根据每天下雨概率可求得，在所给20组数确定表示3天中恰有2天下雨组数，然后计算概率；（2）计算，根据所给数据求出回归直线方程中的系数，得回归直线方程，令可得2020年的预估值【详解】（1）由得，即表示下雨，表示不下雨，所给20组数中有714，740，945，593，491，272，073，951，169，027共10组表示3天中恰有两天下雨，所求概率
14、为.（2）由所给数据得，回归直线方程为：，时，2020年清明节有降雨的话，降雨量约为【点睛】本题考查抽样方法中的随机数表法，考查回归直线方程及应用，只要根据所给数据计算即可本题还考查学生的数据处理能力20.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，求证：当时，【答案】（1）增区间是，减区间是；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）时，成立，在时，变形为，取对数得，分离参数：，由（1）可求得的最小值，从而证得结论成立【详解】（1）定义域是，当时，递减，时，递增，增区间是，减区间是；（2）时，时， 显然成立，当时，由（1）上递减，在上递增，也是上
15、的最小值，而时，时，恒成立，.综上时，【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明函数不等式.求函数的单调区间，就是求出导函数后，由确定增区间，由确定减区间；第（2）小题不等式的证明，首先对这种显而易见的情形说明，然后在时，把不等式变形，通过取对数化为证明，而可用第（1）结论求出最小值，这样就非常容易地完成证明.也符合出题者的意图.21.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求
16、点T的坐标.【答案】(1)；（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）由题意，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT平分线段PQ.（）可用表示出PQ，TF可得：化简得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.【详解】（1），又.（2）椭圆方程化为.（）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法
17、，属于中档题.22. 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点【答案】（1）,(为参数,)（2）过坐标原点【解析】【详解】（1）由题意有，因此，的轨迹的参数方程为（为参数，）（2）点到坐标原点的距离为，当时，故的轨迹过坐标原点23.设函数（1）证明：；（2）若，求的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.