1、1如果命题p(n)对nk(kN*)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是()Ap(n)对所有正整数n都成立Bp(n)对所有正偶数n都成立Cp(n)对所有正奇数n都成立Dp(n)对所有自然数n都成立解析：选B.由题意nk成立，则nk2也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立2凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条3用数学归纳法证明“当n为
2、正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(其中kN*)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(其中kN*)C假设nk时正确，再推nk1时正确(其中kN*)D假设nk时正确，再推nk2时正确(其中kN*)解析：选B.n为正奇数，n2k1(kN*)4在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. B.C. D.解析：选C.由a1，Snn(2n1)an，求得a2，a3，a4.猜想an.5用数学归纳法证明123n2，则当nk1时，左端应在nk的基础上增添的代数式是_解析：当nk时，左侧123k2，当nk1时
3、，左侧123k2(k21)(k22)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上增添(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)26(2015皖南三校联考)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_(n1，n是自然数)解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f
4、(n)n2n2.答案：4n2n27(2014高考广东卷)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由题意知S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.综上知，a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，下面用数学归纳法证明当n1时，结论显然成立；假设当nk(k1，kN*)时，ak2k1，则Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得2
5、ak14k6，ak12(k1)1，即当nk1时，结论成立由知，对于nN*，an2n1.8设实数c0, 整数p1，证明：当x1且x0时，(1x)p1px.证明：用数学归纳法证明当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设当pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立9将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17
6、，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜想S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解：由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立