1、24.4一元二次方程的应用（3）教学目标【知识与能力】1.会根据具体问题,找到单循环赛及利润问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.【过程与方法】1.探索实际问题中的等量关系,经历实际问题转化为数学问题的过程,进一步体会数学中的建模思想.2.培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过根据实际问题列方程,体会数学与生活息息相关.【情感态度价值观】1.通过用一元二次方程解决实际问题,体会数学知识的应用价值,激发学生的学习兴趣.2.进一步培养学生合作的意识和主动探索事物内在联系及变化规
2、律的习惯.教学重难点【教学重点】列一元二次方程解单循环赛问题、利润问题的应用题.【教学难点】 在实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.列一元一次方程解应用题都有哪些步骤?(审题;设未知数;找相等关系;列方程;解方程;答)2.列方程解应用题的关键是什么?(读懂题意,找到题目中的等量关系)【师生活动】学生回答,教师点评.导入二:有m个球队进行足球比赛,采用单循环赛的形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,那么这m个球队共赛多少场?【师生活动】学生独立思考后小组讨论,对学生的展示教师及时引导和点评.设计意图通过复习旧知识
3、及讨论足球单循环赛问题,为继续学习一元二次方程的应用做好铺垫,以学生们感兴趣的足球赛导入新课,感受生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣,提高学生在日常生活中应用数学解决问题的意识.二、新知构建：过渡语我们知道了什么是单循环赛,让我们一起探究下面足球单循环赛的问题吧!一起探究一元二次方程解单循环赛问题【课件展示】某少年宫组织一次足球赛,采取单循环的比赛形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢?思路一教师引导学生思考并回答:设应邀请x支球队参加比赛.(1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”,每支足球队要比赛场.(2)用含x的代数式表示比赛的总场数为.于
4、是可得方程.(3)解这个方程并检验结果.【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,让学生独立完成解答过程,教师点评板书,规范解题格式.【课件展示】解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场.根据题意可得12x(x-1)=28,化简得x2-x=56,解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去),答:应邀请8支球队参加比赛.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题:(1)分析题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程?【师生活动】教师在巡视过程中及时解决疑难问
5、题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.【课件展示】解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场.根据题意可得12x(x-1)=28,化简得x2-x=56,解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去),答:应邀请8支球队参加比赛.设计意图在教师设计的问题的引导下,通过小组活动,让学生亲身经历建立数学模型的过程,感受数学在实际生活中的应用,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.例题讲解【课件展示】(教材51页例4)某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8
6、元,但单价最低不能低于3200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元,则该顾客实际购买了多少个路灯?思路一教师引导分析:(1)若顾客实际购买的路灯数量是80个,则所需费用为元.(2)若顾客一次性购买路灯用去516000元,则所买路灯数量80个.(3)设该顾客购买这种路灯x(x80)个,路灯数超出80个的数量是个,每个路灯可降价元,则每个路灯的单价是元.(4)题目中的等量关系是.(5)根据等量关系可列方程.(6)解方程,并检验根是否都符合题意.【师生活动】学生在教师的引导下分析,对问题(3)可进行小组讨论交流,然后独立完成解答过程,小组代表展示,教师规范解题的格式,并进行点评.解
7、:因为400080=320000516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为4000-8(x-80)元/个.根据题意,得x4000-8(x-80)=516000.整理,得x2-580x+64500=0.解这个方程,得x1=150,x2=430.当x=430时,4000-8(x-80)=4000-8(430-80)=1200(元),低于3200元.不合题意,舍去.答:该顾客实际购买了150个路灯.思路二【思考】(1)一次性购买路灯用去516000元,购买路灯数量是否超过80个?(2)若设顾客购买路灯x个,则超过80个的数量是多少?每个路灯可降价多少元?
8、每个路灯的单价是多少?(3)题目中的等量关系是什么?能否根据等量关系列出方程?(4)解方程,并检验答案是否符合题意.【师生活动】小组合作交流,共同探究,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示解题过程,教师规范解题格式.【课件展示】解:因为400080=320000516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为4000-8(x-80)元/个.根据题意,得x4000-8(x-80)=516000.整理,得x2-580x+64500=0.解这个方程,得x1=150,x2=430.当x=430时,4000-8(x-80)=4000-8(430-80)=12
9、00(元),低于3200元.不合题意,舍去.答:该顾客实际购买了150个路灯.设计意图该例题的难度有所增加,教师在引导学生分析过程中,以层层递进的问题帮助学生正确理解题意,并指导正确用未知数表示等量关系中涉及的量,从而建立方程模型求解,在共同分析、解答的过程中提高学生分析问题及解决问题的能力.练一练:经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋,如果售价为a元/双,那么可以卖出这种运动鞋(350-10a)双.物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%.如果该商店卖完这批鞋赚得400元,那么该商店每双鞋的售价是多少元?这批鞋有多少双?【师生活动】学生独立完成后小组内交流答案,学生展示成果后,教师点评.【课件展示】解:根据题意,可得(350-10a)(a-21)=400,化简可得a2-56a+775=0,解得a=25或a=31,因为售价不得超过进价的120%,即21120%=25.2(元),所以a=25,共卖出350-1025=100(双).答:该商店每双鞋的售价是25元,这批鞋有100双.三、课堂小结：1.单循环赛问题中的等量关系:比赛总场数=x(x-1)2(x为球队个数).易错点是列方程时忽略除以2.2.利润问题中的等量关系:利润=(售价-进价)销售量.2.解决较为复杂的应用题时,要认真读懂题意,正确找到等量关系并准确表达,建立方程模型,并检验解出的根是否符合题意.
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