1、1.3相似三角形的性质教学目标【知识与能力】1.了解相似三角形对应线段的比等于相似比.了解相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.2.能应用相似三角形的性质进行有关计算.能应用相似三角形的性质进行有关周长、面积的计算.【过程与方法】1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会探索研究问题的一般思路和方法.2.利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度价值观】1.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.2.经历观察猜想证明归纳等探究过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学
2、的态度.教学重难点【教学重点】相似三角形的性质定理的探索及应用.【教学难点】 相似三角形性质的归纳推理.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.什么叫相似三角形?判定方法有哪些?2.相似三角形有哪些基本特征?【师生活动】学生思考回答,教师点评.导入语我们已经知道:两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例,除了这些基本性质外,还有什么性质呢?这就是我们这节课要探究的内容.导入二:【课件展示】小华做小孔成像实验,如下图,已知蜡烛与成像板间的距离为l,当蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时,蜡烛焰AB是像AB的一半长?【教师活动】教师展示课件,导出课题.设计意图通过复习相似三角形
3、的概念和判定方法,做好新旧知识之间的衔接;由生活实际问题导出课题,激发学生的学习兴趣,感受数学与其他学科之间的联系.二、新知构建：过渡语全等三角形的对应高、对应中线和对应角平分线分别相等.两个相似三角形,它们的对应高、对应中线和对应角平分线的比与它们的相似比之间有什么关系呢?通过今天的学习,我们将得到结论.一起探究相似三角形的性质思路一相似三角形的对应线段的比等于相似比.【课件展示】如图所示,ABCABC,相似比为k,其中AD,AD分别是BC和BC上的高,那么AD与AD的比与相似比之间有怎样的关系?【思考】(1)图中的ABD和ABD相似吗?如何证明?(2)由相似三角形的性质,你能得到AD与AD
4、的比与相似比之间的关系吗?(3)请写出你的解答过程.(4)你能叙述你得到的结论吗?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,学生完成解答过程,小组代表板书,教师及时帮助有困难的学生,并规范书写格式.【课件展示】相似三角形对应高的比等于相似比.已知:如图所示,ABCABC,相似比为k,AD,AD分别为BC,BC边上的高.求证:ADAD=k.证明:ABCABC,B=B.又ADBC,ADBC,ADB=ADB=90,ADBADB.ADAD=ABAB=k.追加提问:(1)能去掉性质中的对应两个字吗?(2)如图所示,ABCABC,相似比为k.AE与AE分别为BC,BC边上的中线,AF与AF分别为BAC和B
5、AC的平分线.猜想:AE和AE的比、AF和AF的比分别与相似比有怎样的关系?(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?(4)怎样用语言描述上述结论?【师生活动】学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生共同点评,共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1.已知:如上图所示,ABCABC,相似比为k,AE,AE分别为BC,BC边上的中线.求证:AEAE=k.证明:ABCABC,B=B,ABAB=BCBC.又AE与AE分别为BC,BC边上的中线,BE=12BC,BE=12BC,BEBE=ABAB,ABEABE.AEAE
6、=ABAB=k.2.已知:如上图所示,ABCABC,相似比为k,AF,AF分别为BAC,BAC的平分线.求证:AFAF=k.证明:ABCABC,B=B,BAC=BAC.又AF,AF分别为BAC,BAC的平分线,BAF=12BAC,BAF=12BAC,BAF=BAF,ABFABF.AFAF=ABAB=k.思路二动手操作:(1)让学生作出两个三角形ABC与ABC,使ABCABC,并通过测量得出相似比.(2)分别过点A作ADBC,ADBC,垂足分别为D,D.(3)测量两个三角形的高AD与AD,求出ADAD的值.(4)猜想:相似三角形对应高的比与相似比之间的关系.(5)证明你的猜想.【师生活动】学生测
7、量比较后小组合作交流结果,完成猜想及证明,小组代表板书过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,并及时发现问题,在点评时强调易错点.【课件展示】相似三角形对应高的比等于相似比.已知:如图所示,ABCABC,相似比为k,AD,AD分别为BC,BC边上的高.求证:ADAD=k.证明:同思路一.追加提问:(1)能去掉性质中的对应两个字吗?(2)如图所示,ABCABC,相似比为k.AE与AE分别为BC,BC边上的中线,AF与AF分别为BAC和BAC的平分线.猜想:AE和AE的比、AF和AF的比分别与相似比有怎样的关系?(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?(4)怎样用语言描述上述结论?【师生活动】学
8、生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生共同点评,共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1.已知:如上图所示,ABCABC,相似比为k,AE,AE分别为BC,BC边上的中线.求证:AEAE=k.证明:同思路一.2.已知:如上图所示,ABCABC,相似比为k,AF,AF分别为BAC,BAC的平分线.求证:AFAF=k.证明:同思路一.【课件展示】归纳性质:相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比,都等于相似比.设计意图思路一在教师的引导下,由相似三角形的性质得对应角相等,然后利用相似
9、三角形的判定定理证出三角形相似,从而得到对应高的比等于相似比;思路二通过测量,提出猜想,然后小组交流,完成猜想的证明.通过学生的自主探究,完成知识的形成过程,提高学生数学思维和解决问题的能力.例题讲解【课件展示】如图所示,在ABC中,ADBC,垂足为D,EFBC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,AEAB=35,AD=15.求AG的长.教师引导思考:(1)由EFBC可以得到哪两个三角形相似?(2)相似三角形的相似比是多少?(3)AG与AD是不是相似三角形的对应线段?(4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长?【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下思考,独立完成解答过程,小组内交流答案
10、,教师对学生的展示进行评价,并规范解题格式.【课件展示】解:EFBC,AEFABC.ADBC,ADEF.AGAD=AEAB.又AEAB=35,AD=15,AG15=35,AG=9.设计意图学生在教师的引导下共同完成例题的探究,加深对相似三角形的性质的理解和掌握,提高学生的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力.知识拓展相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.【师生活动】学生独立思考回答,教师点评.【课件展示】某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一
11、个角,变成了一个梯形,原绿化地一边BC的长由原来的30米变为18米.那么被削去的部分的面积有多少?你能解决这个问题吗?【教师活动】教师展示课件,导出课题.导入语通过今天的学习,我们利用相似三角形的性质可以解决有关周长、面积的问题.过渡语上节课我们探究了相似三角形的对应线段比等于相似比,那么相似三角形的周长比、面积比与相似比有什么关系呢?让我们一起去探究.一起探究相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系思路一活动一:根据图上标出的数据,回答下列问题:【思考】(1)根据图中数据易知两个直角三角形相似,相似比是多少?(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?(3)计算两个三角
12、形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?【师生活动】学生独立完成后回答教师提出的问题.活动二:(1)猜想1:任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?(2)你能证明猜想1的结论吗?(3)猜想2:任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系?(4)你能证明猜想2的结论吗?【师生活动】学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并点评学生的解答,规范学生的证明格式,师生共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形的性质定理:相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知:如图所示,ABCABC,相似比为k,AD,AD分别为BC,BC
13、边上的高.求证:CABCCABC=k,SABCSABC=k2.证明:ABCABC,相似比为k,ABAB=ACAC=BCBC=k,ADAD=k.AB=kAB,AC=kAC,BC=kBC.CABCCABC=AB+BC+ACAB+BC+AC=kAB+kBC+kACAB+BC+AC=k,SABCSABC=12BCAD12BCAD=BCBCADAD=k2.活动三:你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗?【师生活动】学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论.【课件展示】如上图所示,ABCABC,相似比为k,则CABCCABC=k,SABCSABC=k2.思路二【课件展示】如图所示,ABCABC,相似
14、比为k,AD,AD分别为BC,BC边上的高.(1)ABC的周长和ABC的周长的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.(2)ABC的面积和ABC的面积的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.【师生活动】教师给学生足够的时间思考、小组合作交流,共同探索相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系及证明思路,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生探究出结论后,完成证明过程,教师对学生的展示进行点评,师生共同归纳相似三角形的性质.【课件展示】相似三角形的性质定理:相似三角形的周长比等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知:如图所示,ABCABC,相似比为k,AD,AD分别为BC,BC边
15、上的高.求证:CABCCABC=k,SABCSABC=k2.证明:ABCABC,相似比为k,ABAB=ACAC=BCBC=k,ADAD=k,AB=kAB,AC=kAC,BC=kBC.CABCCABC=AB+BC+ACAB+BC+AC=kAB+kBC+kACAB+BC+AC=k,SABCSABC=12BCAD12BCAD=BCBCADAD=k2.追加思考:你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗?【师生活动】学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论.【课件展示】如上图所示,ABCABC,相似比为k,则CABCCABC=k,SABCSABC=k2.设计意图思路一让学生经历由特殊到一般的探究过程
16、,通过计算、观察、猜想、证明等数学活动,让学生经历知识的形成过程,有助于理解掌握相似三角形的性质;思路二主要通过小组合作交流,探究相似三角形的性质,培养学生的合作意识,严格地推理论证性质定理,培养了学生严谨的学习态度,同时培养了学生的归纳总结能力.例题讲解过渡语我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题,我们一起尝试解决下列问题.如图所示,在ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求:(1)DEF的周长与ABC的周长之比.(2)DEF的面积与ABC的面积之比.解析由三角形的中位线定理可以得到DEF三边与ABC三边之间的数量关系,根据相似三角形的判定定理可得两个
17、三角形相似,且相似比为12,由相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,可得结论.【师生活动】学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案,小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程.【课件展示】解:D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,DEAB,EFBC,DFAC,且DE=12AB,EF=12BC,DF=12AC.DEAB=EFBC=DFAC=12.DEFABC.DEF的周长与ABC的周长之比为12,DEF的面积与ABC的面积之比为14.设计意图通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问题的能力.知识拓展相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.三、课堂小结：1.相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应边成比例;(2)相似三角形的对应角相等;(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;(4)相似三角形的周长比等于相似比;(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
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