1、2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理课时过关能力提升1.已知命题“若k1a+k2b=0,则k1=k2=0”是真命题,则下面对a,b的判断正确的是()A.a与b一定共线B.a与b一定不共线C.a与b一定都为0D.a与b中至少有一个为0解析:由平面向量基本定理知a与b一定不共线.答案:B2.在ABCD中,交于点M.若设=a,=b,则以下各选项中,与-a+b相等的向量有()A.B.C.D.解析:-a+b=(b-a)=.答案:D3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=e1+e2(R)与b=-(e2-2e1)共线,则()A.=0B.=-1C.=-2D.=-解析:由已知得存在实
2、数k使a=kb,即e1+e2=-k(e2-2e1),于是1=2k且=-k,解得=-.答案:D4.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b答案:D5.设O,A,M,B为平面上四点,=+(1-),且(1,2),则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,B,M四点共线解析:由=+(1-),得=(),即=.又因为(1,2),所以点B在线段AM上.答案:B6.若AD与BE分别为ABC的边BC,AC上的中线,且=a,=b,则等于()A.a+bB.a+b
3、C.a-bD.-a+b解析:设AD与BE交于点F,则a,b.由=0,得(a-b),所以=2=2()=a+b.答案:B7.设e1,e2为一组基底,a=-e1+2e2,b=e1-e2,c=3e1-2e2,以a,b为基底将c表示为c=pa+qb,则实数p,q的值分别为.解析:c=pa+qb,即3e1-2e2=(-pe1+2pe2)+(qe1-qe2)=(q-p)e1+(2p-q)e2,答案:1,48.如图,在ABC中,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为.解析:由,得.设=n,所以+n=+n()=(1-n)=m.由n=,得m=1-n=.答案:9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,
4、1),B(-1,2),若点C满足=+,其中,R,且+=1,则点C的轨迹方程为.解析:由+=1,可知点C的轨迹是直线AB,通过直线的两点式求解直线AB的方程即可.答案:x+2y-3=010.如图,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM.解:设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.A,P,M与B,P,N分别共线,存在实数,使=-e1-3e2,=2e1+e2,=(+2)e1+(3+)e2,而=2e1+3e2,由平面向量基本定理,得,APPM=41.11.如图,在ABC中,=a,=b,=c,=a(01),=b(01),试用a,b表示
5、c.分析首先利用共线,假设=m=n,再根据向量减法的三角形法则,求出(用a,b,m,n,表示),再借助解方程,从而得出用a,b表示c.解:共线,共线,假设=m=n,=m=m()=m(b-a).=a+m(b-a)=(1-m)a+mb.=n=n()=n(a-b).=b+n(a-b)=na+(1-n)b.由,得(1-m)a+mb=na+(1-n)b.a与b不共线,解得代入式,得c=(1-m)a+mb=a+b=(1-)a+(1-)b.12.如图,在ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于点F.MHAF交BC于点H,求证:.证明设=a,=b,则=a+b,=-+2+2=-a-b+2a+2b=a+b,=-=-b+=-b+a+2=-b+a+2b-b=a+b.综上,得=a+b.所以.
