1、1.归纳函数的单调性、奇偶性的性质和判定方法.2.运用函数的单调性和奇偶性解决有关综合性问题.3.结合基本函数的性质、函数的单调性和奇偶性归纳一些特殊函数的性质.前面我们学习了函数的单调性、奇偶性和最值等.对于单调性主要要掌握增函数和减函数的定义及其证明、图象特征、单调性的综合应用等;对于奇偶性要掌握奇偶性的定义、判断方法、图象特征等;最值的求法是本部分的一个重点,要注意通过一些典型的题目掌握一些常用的方法.对所学性质的综合应用是本部分考查的重点和热点,这一讲我们就来探讨性质的综合应用问题.问题1:函数单调性的证明或判断方法的归纳:(1)用定义(点差法);定号;(2)直接运用已知函数(如:、反
2、比例函数等)的单调性;(3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x)在D的任一非空子区间上也是增(减)函数;(4)图象法:根据图象的上升或下降的趋势判断函数的单调性;(5)奇函数在对称的单调区间内有的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有的单调性.问题2:判断函数奇偶性的步骤:(1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若定义域不关于原点对称,那么函数f(x);(2)在定义域关于原点对称的前提下,研究f(x)与f(-x)或-f(x)间的关系,若,则函数f(x)是偶函数;若,则函数f(x)是奇函数.问题3:求函数f(x)的值域或最值的常用方法有、单调性判断法等.问题4:两种重要函数的
3、性质:(1)y=ax+(a0,b0)的性质:该函数定义域为,满足f(-x)=-f(x),故该函数是,当x0时,函数可变形为y=(-)2+22,当且仅当x=时得到最小值,值域为,单调增区间为,+),单调减区间为(0,),再根据奇函数的对称性可得到x0,则a+b0(填“”“0)的单调性并求该函数的最小值;(2)求函数y=(x2)的最值.单调性和奇偶性的综合应用设定义在上的奇函数f(x)在区间上单调递减,若f(m)+f(m-1)0,求实数m的取值范围.已知函数f(x)=满足对任意的x1,x2R,(x1-x2)0)的最小值为6,则a=.(2)函数y=的值域为.已知f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,
4、且f(x)在1.若函数f(x)=x3(xR),则函数y=-f(x)在其定义域内是.单调递增的偶函数;单调递增的奇函数;单调递减的偶函数;单调递减的奇函数.2.设函数f(x)=,则有.f(x)是奇函数,f()=-f(x);f(x)是奇函数,f()=f(x);f(x)是偶函数,f()=-f(x);f(x)是偶函数,f()=f(x).3.函数y=x-(1x0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为.考题变式(我来改编):第7课时函数性质的综合应用知识体系梳理问题1:(1)作差变形(2)一次函数二次函数(5)相同相反问题2:(1)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(-x)=f(x)
5、f(-x)=-f(x)问题3:图象法换元法问题4:(1)(-,0)(0,+)奇函数上有最大值,那么该函数在上也有最大值.2.由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得和都是偶函数,所以f(x)+与f(x)-都是偶函数,+g(x)与-g(x)的奇偶性不能确定.3.0,f(a)-f(b).又f(x)是定义在R上的奇函数,f(a)f(-b),又f(x)为减函数,a-b,a+b0.4.解:f(x)在(-,-5上单调递减,任取x1-x25,因f(x)是奇函数且在上是单调减函数.重点难点探究探究一:【解析】当x1时,f(x)=-x2+2ax-2a是减函数,得a1.当x1时,函数f(x)=ax+1是减函数,得
6、a0,分段点1处的值应满足-12+2a1-2a1a+1,解得a-2,-2ax1时,恒有x2-x10,x1x2-30,x1x20,所以f(x2)-f(x1)0,所以f(x)=x+(x0)在(,+)上是增函数.所以函数f(x)的最小值为f()=+=2.(2)因为y=1-,又x2,故0,所以-0,1-0,b0)的单调性和最值也可以通过配方法先求出最小值,再确定单调区间;(2)研究形如y=(ac0)的函数的性质时,首先通过常数分离法去掉分子中的变量x,再依据反比例函数的性质探究该函数的性质.探究三:【解析】由f(m)+f(m-1)0,得f(m)-f(m-1),即f(m)f(-m+1).又f(x)在上为
7、减函数且f(x)在上为奇函数,f(x)在上为减函数.即得-1m.【小结】此类问题的解答思路:先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子,然后根据函数的单调性列出不等式(组),同时要注意函数的定义域也是一个限定条件.思维拓展应用应用一:由对任意的x1,x2R,(x1-x2)0知函数f(x)在R上为减函数,当xf(0)=3-3a;当x0时,函数f(x)=-x2+a为二次函数,也为减函数,且有f(x)f(0)=a,要使函数f(x)在R上为减函数,则有a3-3a,解得a.应用二:(1)9(2)yR|y3(1)若a0,则函数为单调增函数,显然该函数在(0,+)上无最小值,故a0,此时y=x+=(-)2+22,当x=时取得最小值2,2=6,解得a=9.(2)利用常数分离法,得y=3+,0,3+3,函数y=的值域为yR|y3.应用三:因为f(x)在原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t0),y5,该函数的值域为(-,5.全新视角拓展(-5,0)(5,+)令x0,f(-x)=(-x)2-4(-x),又函数f(x)为奇函数,则-f(x)=x2+4x,即f(x)=-x2-4x,所以或即或解得-5x5.所以原不等式的解集为(-5,0)(5,+).
