1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时利用导数研究函数的最值1.了解函数的最值与极值的区别和联系2.理解函数最值的概念3掌握在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值的求法1函数f(x)在闭区间a，b上的最值如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值和最小值，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点处取得2求可导函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值1判断(正确的打“”
2、，错误的打“”)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值()(2)函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得()(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值()答案：(1)(2)(3)2函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值答案：A3函数yx33x3在区间3，3上的最小值为()A1 B5C21 D15答案：D4函数f(x)的最大值为_答案：求函数的最值求下列函数的最值：(1)f(x)sin xx(x)；(2)f(x)4x33x236x5，x2，)解(1)f(x)cosx1，令f(x)0，得x0，所以f(0)000，f()1，f
3、()1，所以f(x)max1，f(x)min1.(2)f(x)12x26x36，令f(x)0，得x12，x2，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x2(2，)(，)f(x)00f(x)57由于当x时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数，因此，函数f(x)在2，)上只有最小值，无最大值求函数最值的四个步骤第一步，求函数的定义域第二步：求f(x)，解方程f(x)0.第三步：列出关于x，f(x)，f(x)的变化表第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值 已知函数f(x)2x33x212x3.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在3，3上的最值解：(1)f(x)6(x2)(x1)，
4、由f(x)0，得x1，由f(x)0得2x0)，x1，2的最大值为3，最小值为29，求a、b的值解f(x)3ax212ax3a(x24x)令f(x)0，得x0或x4，因为x1，2，所以x0.因为a0，所以f(x)，f(x)随x变化情况如下表：x(1，0)0(0，2)f(x)0f(x)最大值3所以当x0时，f(x)取最大值，所以b3.又f(2)8a24a316a3，f(1)7a3f(2)，所以当x2时，f(x)取最小值，则16a329，所以a2，所以a2，b3. (1)含参数的函数最值问题的两类情况能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其
5、实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值(2)已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围 1.函数f(x)x33x29xk在区间4，4上的最大值为10，则其最小值为()A10B71C15 D22解析：选B.f(x)3x26x93(x3)(x1)，令f(x)0，得x3或x1.因为f(4)k76，f(3)k27，f(1)k
6、5，f(4)k20，所以f(x)maxk510，得k5，所以f(x)mink7671.2已知h(x)x33x29x1在区间k，2上的最大值是28，求k的取值范围解：h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时h(x)及h(x)的变化情况如下表x(，3)3(3，1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h(2)3h(3)28，如果h(x)在区间k，2上的最大值为28，则k3.最值的应用设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x0，3，都有f(x)c
7、2成立，求c的取值范围解(1)f(x)6x26ax3b，因为函数f(x)在x1及x2时取得极值，所以f(1)0，f(2)0，即解得(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c.所以当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c1或c9.因此c的取值范围为(，1)(9，)若本例中“x0，3”变为“x(0，3)”仍
8、有f(x)c2成立，求c的取值范围解：由本例解析知f(x)f(3)98c，所以98cc2，即c1或c9，所以c的取值范围为(，19，)不等式恒成立问题常用的解题方法 已知f(x)x3x1，g(x)2xm，当x(0，2)时，f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围解：因为f(x)g(x)等价于x3x1x33x1，令h(x)x33x1，h(x)3x23，x(0，2)，令h(x)0，则x1，即当h(x)0时，0x1；当h(x)0时，1xh(x)max1，即m1时，f(x)g(x)恒成立1函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数
9、值中的最小值2函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值将极大值误认为是最大值、极小值误认为是最小值，不与端点值作比较，是常犯的错误1如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则()A函数f(x)没有最大值也没有最小值B函数f(x)有最大值，没有最小值C函数f(x)没有最大值，有最小值D函数f(x)有最大值，也有最小值解析：选C.由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极
10、小值点1，即f(x)在x1处取得最小值，没有最大值2函数y4x2(x2)在x2，2上的最小值为_，最大值为_解析：由y12x216x0，得x0或x.当x0时，y0；当x时，y；当x2时，y64；当x2时，y0.比较可知ymax0，ymin64.答案：6403设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x(0，1，都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_解析：因为ax33x10恒成立，且x(0，1，所以a，转化为求y在(0，1上的最大值，由y0，解得x.易知x时取最大值4，所以a4.答案：4，) A基础达标1函数f(x)x33x(1x1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最
11、大值，也无最小值D无最大值，但有最小值解析：选C.f(x)3x233(x21)因为1x1，所以x21.所以3(x21)0，即f(x)0.所以f(x)是(1，1)上的减函数，f(1)f(x)f(1)，故f(x)在1x1时既无最大值，也无最小值，故选C.2函数y2x33x212x5在0，3上的最大值和最小值分别是()A5，15B5，4C5，15 D5，16解析：选C.y6x26x126(x1)(x2)，令y0得x1或x2.当x2时y15，当x0时y5，当x3时，y4.故选C.3函数y在0，2上的最大值是()A当x1时，y B当x2时，yC当x0时，y0 D当x时，y解析：选A.因为y，所以当y0时
12、，x1.又因为当0x0，当1x2时，y0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf.5已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对解析：选A.因为f(x)6x212x6x(x2)，所以f(x)在(2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，所以当x0时，f(0)m最大，所以m3.因为f(2)37，f(2)5，所以最小值为37.6若函数f(x)在区间a，b上满足f(x)0，则f(a)是函数的最_值，f(b)是函数的最_值解析：由f(x)0知，函数f(x)在区间a，b上为增函数，所
13、以f(a)为最小值，f(b)为最大值答案：小大7函数f(x)sin xcos x在x时的最大值，最小值分别是_解析：f(x)cos xsin x，令f(x)0，即tan x1，而x，所以x.又f，f1，f1，所以x时，函数的最大值为f，最小值为f1.答案：，18函数f(x)ax32ax1在区间3，2上有最大值4，则实数a_解析：f(x)3ax22aa(3x22)当a0时，f(x)0，所以f(x)maxf(2)8a4a14，解得a；当a0时，f(x)0，得0x1，令f(x)1，所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以f(x)在，e上的最大值为f(1).B能力提升11若函数f
14、(x)asin xsin 3x在x处有最值，则a等于()A2 B1C D0解析：选A.因为f(x)在x处有最值，所以x是函数f(x)的极值点又因为f(x)acos xcos 3x(xR)，所以facos cos 0，解得a2.12若函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_解析：f(x)3x24cxc2，令f(2)c28c120，解得c2或c6.当c2时，f(x)在x2处取极小值，不合题意，舍去答案：613设函数f(x)x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x2，2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)xexx2exx(x2)由x(x2)0，解得x0或x2.所以f(x)的增区间为(，2)，(0，)由x(x2)0，得2xm恒成立，所以m 成立解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1.当x时，f(x)0，f(x)为增函数；当0x时，f(x).由第一问可知f(x)xln x的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)，x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到，所以xln x.从而对一切x(0，)，都有ln x成立高考资源网版权所有，侵权必究！