1、南充市高2015届第三次高考适应性考试数学试卷（理科）【试卷综析】这套试题,具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血.但是综合知识、创新题目的题考的有点少.这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了引
2、导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.【题文】第I卷共10小题。【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1设集合M满足1，21，2，3，4，则满足条件的集合M的个数为（） A.1 B 2 C 3. D. 4【知识点】子集与真子集A1【答案】【解析】C 解析：根据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，而且含有1，2，3，4中的至多三个元素因此，满足条件1，2M1，2，3，4的集合M有：1，2、1，2，3、1，2，4，共3个故选：C【思路点拨】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本
3、题答案.【题文】2.已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量的方向相反的单位向量是（）A、（，）B、（，）C、（，）D、（，）【知识点】单位向量F1【答案】【解析】A 解析：=（4，1）（1，3）=（3，4），|=5与向量的方向相反的单位向量故选：A【思路点拨】利用与向量的方向相反的单位向量即可得出【题文】3.函数bx的图象在点A（l，f(1）处的切线与直线3x - y20平行，若数列 的前n项和为Sn，则S2015（） A、1B、 C、 D、【知识点】数列的求和；二次函数的性质B5 D4【答案】【解析】D 解析：f（x）=2x+b，由直线3xy+2=0可知其斜率为3，根据题意，有f（1）
4、=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x2+x，从而数列的通项为，所以S2015=，故选：D【思路点拨】由f（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列的通项公式，计算可得答案【题文】4.某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（） A. 3 B. 2 C. 6 D. 8【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】【解析】C 解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：4=2两个侧面面积为：23=3，前面三角形的面积为：4=6，
5、四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6故选C【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥PABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可【题文】5.已知圆C1：（x一2）2(y3 )2 =1 ，圆 C2 : (x 3)2(y4).2 9，M，N分别是Cl ，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM + PN的最小值为（） A. 1B、62C、54D 【知识点】圆与圆的位置关系及其判定H4【答案】【解析】C 解析：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM
6、|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|31=4=4=54故选：C【思路点拨】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【题文】6.函数恰有两个零点，则实数k的范围是（） A.（0，1) B.（0，l）U（1,2）C. (1，oo）D、（一oo,2)【知识点】函数的零点与方程根的关系B9【答案】【解析】B 解析：由题意，令f（x）=0，则令，则y1=，图象如图所示表示过点（0，0）的直线，结合图像以及斜率的意义，k的取值范围是（0，1）（
7、1，2），故选B.【思路点拨】令f（x）=0，则，构建函数，作出函数的图象，即可求得k的取值范围【题文】7.已知抛物线上一点M（1，m）（m 0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行、则实数a等于（） A、 B、 C、 D、【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质H6 H7【答案】【解析】A 解析：抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x，M（1，4），双曲线y2=1的左顶点为A（，0），渐近线方程为y=x，直线AM的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得=，解得a=，故选A【思路点拨
8、】求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值【题文】8.函数在x1和x1处分别取得最大值和最小值，且对于，则函数f（x1）一定是（） A周期为2的偶函数B.周期为2的奇函数 C.周期为4的奇函数D.周期为4的偶函数【知识点】正弦函数的图象B4【答案】【解析】C 解析：由题意可得，1，1是f（x）的一个增区间，函数f（x）的周期为22=4，=4，=，f（x）=Asin（x+）再根据f（1）=Asin（+）=A，可得sin（+）=cos=1，故=2k，kz，f（x）=Asinx，故
9、f（x）是周期为4的奇函数，故选：C【思路点拨】由题意可得函数f（x）的周期为4，由此求得 的值，再根据f（1）=A，求得 的值，可得f（x）的解析式，从而得出结论【题文】9已知正方体ABCD一A1B1C1D1，下列命题： 向量与向量的夹角为600正方体ABCD一A1B1C1D1的体积为，其中正确命题序号是 A.B.C.D.【知识点】空间向量及应用F1【答案】【解析】A 解析：如图所示：以点D为坐标原点，以向量，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，
10、1，1），D1（0，0，1），对于：，|=，|=1，正确；对于：，=2错误；对于：，正确；对于：，错误，故选A.【思路点拨】结合图形，以点D为坐标原点，以向量，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，对四个命题进行逐个检验即可【题文】10.已知函数，则关于x的方程有5个不同实数解的充要条件是（） A. b一2且c0 B. b一2且c0 C. b一2且c0 D. b一2且c0【知识点】充要条件A2【答案】【解析】C 解析：方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f（x）的简图：由图可知，只
11、有当f（x）=0时，它有个根且f（x）=b时有四个根，由图可知b2，b2故所求充要条件为：b2且c=0，故选C【思路点拨】作出f（x）的简图，数形结合可得【题文】 第II卷（非选择题，满分100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分【题文】11、若复数x（1ai）（2i）的实部与虚部相等，则实数a【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】 解析： ，因为实部与虚部相等，所以，解得，故答案为【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，把复数化为最简形式，由实部和虚部相等，求出实数a【题文】12.的展开式中常数项等于【知识点】二
12、项式系数的性质J3【答案】【解析】 解析：的展开式的通项公式为Tr+1=（3）r，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项等于（3）3=，故答案为：【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值【题文】13.7个身高各不相同的学生排成一排照相，高个子站中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也一个比一个矮，则共有种不同的排法（结果用数字作答）【知识点】排列、组合及简单计数问题J3【答案】【解析】20 解析：最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有=20种排法，第二步：排右边，有=1种，根据分步乘法计数原理，共有201=
13、20种，故答案为：20【思路点拨】最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有=20种排法，第二步：排右边，有=1种，根据分步乘法计数原理可得结论【题文】14.阅读右边框图，为了使输出的n5，则输人的整数P的最小值为【知识点】程序框图L1【答案】【解析】8 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 S n循环前/0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5第五圈 否故S=7时，满足条件SpS=15时，不满足条件Sp故p的最小值为8故答案为：8【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利
14、用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【题文】15平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题： m，使曲线E过坐标原点； 对m，曲线E与x轴有三个交点； 曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称； 若P、M、N三点不共线，则 PMN周长的最小值为24; 曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。 其中真命题的序号是（填上所有真命题的序号）【知识点】命题的真假判断与应用；轨迹方程A2【答案】【解析】
15、解析：平面内两定点M（0，2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|=m（m4），=m（0，0）代入，可得m=4，正确；令y=0，可得x2+4=m，对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；若P、M、N三点不共线，|+|2=2，所以PMN周长的最小值为2+4，正确；曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2SMNG=|GM|GN|sinMGNm，四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确故答案为：【思路点拨】利用平面内两定点M（0，2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|=m（m4），可得=m，对选项进行
16、分析，即可得出结论【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16.在ABC中，角A、B、C对边a，b，c，已知向量 （l）求角A的大小； （2）若，求边a的最小值【知识点】向量在几何中的应用F3【答案】【解析】（l）（2）2 解析：（1）向量=（c2b，a），=（cosA，cosC）且（c2b）cosA+acosC=0sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA，sin（A+C）=2sinBcosA，sinB=2sinBcosA，cosA=又A为三角形内角，A=；（2）若=4，即cb=8，由余弦定理得a2=b2+c22bcsosA=b2
17、+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）224又由基本不等式可得（b+c）24bc=32a28，即边BC的最小值为2【思路点拨】（1）根据正弦定理边角互化，我们易将已知条件中转化为关于A角的三角方程，解方程，即可求出A角大小（2）由（1）的中结论，代入余弦定理，结合基本不等式，可得两边和的最小值，代入即可求出边BC的最小值【题文】17已知数列 中，首项a11，数列bn的前n项和 （1）求数列bn的通项公式； （2）求数列| bn |的前n项和【知识点】递推公式；数列的和D1 D4【答案】【解析】（l）；（2） 解析：（l）由已知，即，累加得：又。对于数列的前n项和：所以当时，（2）设数列的前
18、n项和，则当时，当时，故【思路点拨】（l）两边取对数,变形后可利用累加法;（2）对n分两种情况可得结果.【题文】18.南充市招商局2015年开年后加大招商引资力度，现已确定甲、乙、丙三个招商引资项目，一位投资商投资开发这三个项目的概率分别为0. 4 , 0. 5, 0. 6，且投资商投资哪个项目互不影响。 (1)求该投资商恰投资了其中两个项目的概率； （2）用X表示该投资商投资的项目数与没有投资的项目数之差的绝对值，求X的分布列和 数学期望E（X）【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列K1 K6【答案】【解析】（l）；（2） 解析：（1）分别
19、设“投资甲”、“投资乙”、“投资丙”为事件,已知相互独立，互不影响，,则恰投资两个项目的概率为,(2) 投资商投资的项目数的可能取值为0,1,2,3，对应的没有投资的项目数的可能取值为3,2,1,0，所以X的可能取值为1,3，所以分布列为：【思路点拨】（1）分别设“投资甲”、“投资乙”、“投资丙”为事件,已知相互独立，互不影响，据,可根据恰投资两个项目的概率可求出结果（2）投资商投资的项目数的可能取值为0,1,2,3，对应的没有投资的项目数的可能取值为3,2,1,0，所以X的可能取值为1,3，由此能求出X的分布列和数学期望【题文】19.如图，直三棱柱ABC一A1B1 C1中，AB，AC3 ，B
20、C，D是ACl的中点，E.是侧棱BB1上的一个动点 ( I）当E是BB1的中点时，证明:DE平面A1B1C1 （2）在棱BB1上是否存在点E使二面角E一AC1一C是直二面角？若存在，求出的值，若不存在，说明理由【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定G4 G11【答案】【解析】（l）见解析；（2）见解析 解析：（1）证明：取A1C1中点F，连接DF，DE，B1FD是AC1的中点，E是BB1的中点DFAA1，B1EAA1，DF=AA1，B1E=AA1，DFB1E，DF=B1E，所以DEB1F，DE=B1F（2分）又B1F平面A1B1C1，所以DE平面A1B1C1（4分）（2）解：
21、分别在两底面内作BOAC于O，B1O1A1C1于O1，连接OO1，则OO1AA1，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立直角坐标系，设AA1=t，BE=h，则=，A（0，1，0），C1（0，t），E（1，0，h）平面A1ACC1的法向量为=（1，0，0）（7分）设平面AC1E的法向量为=（x，y，z）=（1，1，h），=（0，h）由可得（9分）取z=1得y=，x=（11分）由题知，=0，=所以在BB1上存在点E，当时，二面角EAC1C是直二面角（12分）【思路点拨】（1）取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得DE平
22、面A1B1C1；（2）建立直角坐标系，求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量，利用数量积为0建立方程，即可求得结论【题文】20已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率e，过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A .B （l）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆上一点，且满足（0为原点），当时，求实数 的取值范围【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8【答案】【解析】（l）（2）（2，）（，2） 解析：（1）由题知a2=m，b2=1，c2=m1，解得m=4椭圆的方程为（4分）（2）当l的斜率不存在时，不符合条件（5分）设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3设A（x1，y1），B（x2，
23、y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：，消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，=（6k）24（4+k2）5=16k2800，解得k25且，=由已知有整理得13k488k21280，解得，5k28（9分），即（x1，y1）+（x2，y2）=（x0，y0），x1+x2=x0，y1+y2=y0当=0时，显然，上述方程无解当0时，P（x0，y0）在椭圆上，即+=1，化简得由5k28，可得324，（2，）（，2）即的取值范围为（2，）（，2）（12分）【思路点拨】（1）由题知a2=m，b2=1，c2=m1，且离心率为，得m=4由此能求出椭圆的方程（2）当l的斜率不存在时，不符合条件设l
24、的斜率为k，则l的方程为y=kx+3设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：，消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解【题文】21已知函数的定义域为（0，），（a =2. 71828.-自然对数的底数） （1）求函数yf（x）在m，m2（m0）上的最小值； （II）若x1时，函数yf（x）的图象总在函数的图象的上方，求实数t 的取值范围； （III）求证: 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性B11 B12【答案】【解析】（l）见解析；（2）见解析；（3）见解析； 解析：（1）【思路点拨】（l）根据函数导数的符号和函数单调性的关系可知f（x）0在1，+）上恒成立，所以得到ax-10，这样便得到a的取值范围（2）f（x）在（0，+）上的单调区间，再讨论函数f（x）在m，m+1上的单调情况，从而求出每一种情况对应的f（x）的最小值(3) 观察式子取的倒数的情况，又因为x0时，有些项可以相互抵消，从而完成证明
