1、2022中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(二)例3 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动
2、点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2解析（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到由于，所以整理，得因此得到当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与G
3、QE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于，所以解得 图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例4 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形A ABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；
4、（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B、C、D为顶点的三角形与ABC相似图1 解析(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上，所以 解得，(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB5因为四边形A ABB为菱形，所以A ABB AB5因为，所以原抛物线的对称轴x1向右平移5个单位后，对应的直线为x4因此平移后的抛物线的解析式为图2(3) 由点A (-2，4) 和点B (6，0)，可得A B如图2，由AM/CN，可得，即解得所以根据菱形的性质，在ABC与BCD中，BACCBD如图3，当时，解得此时OD3，点D的坐标为（3，0）如图4，当时，解得此时OD，点D的坐标为（，0） 图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求BCD与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况我们也可以讨论BCD与CB B相似，这两个三角形有一组公共角B，根据对应边成比例，分两种情况计算
