1、12.2导数的运算法则填一填1.导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的商的导数(g(x)0)2.复合函数复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成_x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对
2、x的导数的乘积判一判1.ex.()2函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()3ycos 3x由函数ycos u，u3x复合而成()4已知f(x)xcos x，则f(x)cos xxsin x()5已知f(x)，则f(x).()6若函数yf(x)的导数f(x)2x，则f(x)x2.()7ye2x的导数是y2e2x.()8f(x)g(x)f(x)g(x)()想一想1.应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？(1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式进行适当的变形，以便于求导；(3)准确使用公式；(4)注意区分参数与变量2如何判断一个函数是不是复合
3、函数？除了六大类基本初等函数之外的其他函数基本都是复合函数，基本初等函数包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数3复合函数求导，先内后外和先外后内有区别吗？复合函数求导时，先外后内层次清楚，先内后外容易搞乱，易错，建议习惯于先外后内的顺序求导4复合函数求导的关键点是什么？正确分解初等函数的复合结构是复合函数求导的关键点感悟体会练一练1.函数f(x)x(x21)的导数为()Ax21 B3x2C3x21 D3x2x解析：因为f(x)x(x21)x3x，所以f(x)3x21，故选C.答案：C2函数f(x)xxln x在(1,1)处的切线方程为()A2xy10 B2xy10C2xy
4、10 D2xy10解析：f(x)1ln x1ln x2，f(1)2，切线方程为y12(x1)，即2xy10，故选B.答案：B3二次函数yf(x)的图象过原点，且它的导函数yf(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图象的顶点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：依题意，可设f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb，因为导函数yf(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，所以即又f(x)ax2bxa2，0，0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2，则a()A1 B2C3 D4解析：因为f(x)x2，所以f(x)2x，所以函数f(x)x2在点(a，
5、a2)(a0)处的切线斜率f(a)2a，切线方程为ya22a(xa)，令x0，得ya2；令 y0，得x，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为|a2|2，解得a2，故选B.答案：B6已知函数f(x)axbex图象在点P(1,2)处的切线与直线y3x平行，则函数f(x)的解析是_解析：由题意可知，f(1)3，所以abe13，又f(1)2，所以abe12，解之得a，be，故f(x)xex1.答案：f(x)xex17若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7解析：设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)
6、，即y3xx2x，又点(1,0)在切线上，则3x2x0，解得x00或x0，当x00时，切点为(0,0)，切线方程为y0，由y0与yax2x9相切，可得a；同理，当x0时，由yx与yax2x9相切，可得a1，故选A.答案：A8已知直线x2y40与抛物线y24x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的曲线段AOB上求一点P，使APB的面积最大解析：因为|AB|为定值，所以要使APB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，即点P是抛物线与平行于AB的直线相切时的切点设P(x，y)，由图知，点P在x轴下方的图象上，所以y2，所以y，因为kAB，所以，解得x4，所以y24，所以点P的坐标为(4，4)基
7、础达标一、选择题1函数y(2x3)2的导数为()A6x512x2 B42x3C2(2x3)2 D2(2x3)3x解析：y(2x3)244x3x6， y12x26x5，故选A.答案：A2已知f(x)ax39x26x7，若f(1)4，则a的值等于()A. B.C. D.解析：f(x)3ax218x6，且f(1)4，3a1864，解得a，故选B.答案：B3曲线ycos xex在x0处的切线方程是()Axy20 Bxy20Cx2y10 D2xy10解析：当x0时，ycos 0e02，又ysin xex，所以y|x0sin 0e01，所以切线方程为y21(x0)，即xy20，故选B.答案：B4已知函数f
8、(x)xsin x，且f(x)的导数为f(x)，若af，bf，cf，则a，b，c的大小关系为()AcabcCabc Dbac解析：f(x)1cos x，而ycos x在上单调递减，f(x)在区间上单调递增，fff，即ab0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：由f(x)x22x4ln x，得f(x)2x2，解f(x)0得0，x0，x2，f(x)0的解集为(2，)，故选C.答案：C7已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围为()A. B.C. D.解析：y，y，ex0，ex2，ex24，10，又为曲线在点P处切线的倾斜角，tan ky1,
9、0)，故选D.答案：D二、填空题8已知函数f(x)e2x，则过原点且与曲线yf(x)相切的直线方程为_解析：设过原点与曲线f(x)相切的切点为(x0，e2x0)，又f(x)e2x(2x)2e2x，切线的斜率k2e2x0，切线方程为ye2x02e2x0(xx0)，切线过原点，e2x02e2x0(x0)，解得x0，所求切线方程为y2ex.答案：y2ex9若函数为ysin4xcos4x，则y_.解析：(方法一)y4sin3x(sin x)4cos3x(cos x)4sin3xcos x4cos3x(sin x)4sin xcos x(sin2xcos2x)4sin xcos x2sin 2x.(方法
10、二)ysin4xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)cos 2x，y(cos 2x)sin 2x(2x)2sin 2x.答案：2sin 2x10设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析：yeax，yeax(ax)aeax，y|x0ae0a，又曲线yeax在点 (0,1)处的切线与直线x2y10垂直，a2.答案：211已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析：f(x)fcos xsin x，f(x)fsin xcos x，ffsincos，解得f1，f(x)(1)cos xsin x，f(1)cossin1.答案：112设函数f
11、(x)cos(x)(0)，若f(x)f(x)是奇函数，则_.解析：f(x)cos(x)，f(x)sin(x)(x)sin(x)，f(x)f(x)cos(x)sin(x)2cos，f(x)f(x)为奇函数，k，kZ，解得k，kZ，0，.答案：三、解答题13求下列函数的导数：(1)yxex；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)yxsin x.解析：(1)yxexx(ex)exxex(1x)ex.(2)因为(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6.所以y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11.(3)y.(4)y(xsin x)sin xx
12、cos x.14已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求过点P(2,4)的曲线的切线方程解析：(1)yx3，yx2，曲线在点P(2,4)处切线的斜率k224，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点M，则切线的斜率kx，切线方程为yx(xx0)，点P(2,4)在切线上，4x(2x0)，即x3x40，(x01)(x4x04)0，解得x01或x02，当x01时，切线方程为xy20；当x02时，切线方程为4xy40.综上所述，所以切线方程为xy20或4xy40.能力提升15.求曲线yln(2x1)上的
13、点到直线l：2xy30的最短距离解析：作出直线l：2xy30和曲线yln(2x1)的图象知，它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线yln(2x1)相切时，切点到直线l的距离即为曲线上的点到直线l的最短距离设切点为M(x0，y0)，yln(2x1)，y(2x1)，由2，得x01，y0ln(2x01)ln 10，M(1,0)曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离为点M(1,0)到直线l：2xy30的距离，d.16已知函数f(x)，且f(x)的图象在x1处与直线y2相切(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围解析：(1)f(x)，f(x)，f(x)的图象在x1处与直线y2相切，即解得f(x)，(2)f(x)，直线l的斜率kf(x0)4令t(0,1，则k4(2t2t)82，斜率k的取值范围是.