1、广东省番禺区2020届高三数学摸底测试试题 文（含解析）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】B【解析】【分析】求出 后,再求出与 的交集.【详解】解: .故选:B.【点睛】本题考查了集合的运算.求解集合运算题目时,可通过画数轴,数形结合进行分析.2.设，则（ ）A. 1B. 1C. -3iD. 3【答案】B【解析】【分析】将整理成复数的标准形式,求出,进而可求.【详解】.即.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算,考查了共轭复数的概念.当已知的复数是分式形式,且分母中含有 时,如,应运用分数的性质,将复数整理成一般形式.3.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】比较、三个数与和的大小关系，从而可得出、三个数的大小关系.【详解】对数函数是增函数，则；对数函数是减
3、函数，则；指数函数为增函数，则，且.因此，.故选C.【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.4.已知向量,向量在向量上的投影等于（ ）A. B. 9C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】求出以及的值,即可求出向量在向量上的投影.【详解】解:由题意知, 则 故选:D.【点睛】本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量在另一个向量的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即;另外还可以由向量数量积的运算可知, .5.如果数据的平均数为，方差为，则，的平均数和方差分别为（
4、）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】根据平均数的概念，其平均数为，方差为，故选C.6.如图，在圆心角为直角半径为2的扇形区域中，分别为的中点，在两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以为直径的圆，在扇形内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出两半圆公共区域面积以及扇形的面积,代入几何概型概率公式即可求出.【详解】设事件“同时收到两个基站信号”，两半圆公共区域面积记.由图可知, 扇形的面积.由几何概型知 故选:B【点睛】本题考查了几何概型概率求法.对于几何概型概率问题，一般情况下，涉及到平面图形区域时
5、，概率为面积比;涉及到角或射线问题时，一般是角度之比;涉及到几何体问题时，一般是体积之比；涉及到区间时，一般是长度之比.7.已知,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由,代入已知式子中,可求出,再结合即可求解.【详解】解: , 即.又 , 故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.8.若是函数两个相邻的零点，则（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】由零点分析求出函数的周期,结合 进而可求.【详解】解:由题意知,即 . 故选:A.【点睛】本题
6、考查了三角函数解析式的求解.求的关键是分析出三角函数的周期.9.若抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴相交于一点, 为抛物线上一点且,则的面积为（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】由已知写出直线 的方程,与抛物线联立,进而求出 的横坐标,得到的长,代入即可求出结果.【详解】解:设过点的直线为,斜率为.由题意知: 即的方程为 将方程联立 ,整理得,解得或(舍去)所以, 所以的面积为 故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的方程与性质,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了直线方程的求解,考查了三角形面积的求解.本题的易错点是没能对的两个结果进行取舍.涉及到三角形面积时,一般代入 进行
7、求解.涉及到抛物线上一点到焦点的距离时,一般将所求距离转化为该点到准线的距离.10.已知函数，则关于 x 的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对已知函数进行分析,可知为奇函数且在单调递增.对所求不等式进行整理,结合性质可得,进而求解.【详解】解:由题意知, 的定义域为,且 所以 为奇函数. 在 单调递增在 单调递增.又 在 单调递增因此在单调递增. 故而,解得 故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断与应用,考查了复合函数单调性的判断,考查了不等式求解.当结合函数解不等式时,一般应用函数的性质.判断函数的奇偶性时分为两步,一是求函数的定义域,判断定义域
8、是否关于原点对称;二是判断 与的关系.判断复合函数的单调性时,关键是”同增异减”.11.已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 或D. 或【答案】D【解析】【分析】用将点的坐标表示出来, 结合,列出关于的方程,从而求出的值,代入求出离心率.【详解】解:当点是直线与 的交点时,此时, 则,解得.从而 同理,当点是直线与 交点时, 故选:D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线,考查了双曲线的离心率.在求离心率问题时,解题关键是求出 的值,或者列出关于 的等式,求出的等量关系.对于椭圆,离心率小于1;对于双曲线,其离心率大于1.12
9、.在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足APDMPC，则三棱锥PBCD的体积最大值是( )A. 36B. 24C. D. 【答案】D【解析】【分析】要求三棱锥的体积最大，只需高最大，通过轨迹得到高的最大值【详解】易知，则2，欲使三棱锥的体积最大，只需高最大，通过坐标法得到动点运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值，所以.故选【点睛】本题考查了几何体的体积问题，在计算过程中先找出以哪个三角形为底面，以哪条线为高，通过轨迹求出高的最大值，继而求出体积最大值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若变量x，y
10、满足约束条件则z=3xy的最大值是_.【答案】9.【解析】【分析】作出可行域，平移找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取图解法，利用数形结合思想解题搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值14.曲线在点处的切线方程为则实数 _【答案】3【解析】【分析】求出,令,令出此时的导数值等于切线的斜率,
11、即可求出 的值.【详解】解:,当 时, 故答案为:3.【点睛】本题考查了函数的切线问题.关于 在 的切线问题,等量关系为切线斜率为切点处的导数值; 过的切线问题,往往要设出切点,利用切点同时在直线和函数图像上,以及切点处的导数值为切线斜率列出两个方程.15.设，分别为内角，的对边.已知，则_.【答案】2【解析】【分析】要求的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算【详解】因为， 所以，所以.【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.16.已知是边长为4的正三角形，点是的中点，沿 将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的体积为_【答案】【解析】【分析】由二面角可分析出
12、两两垂直,即将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球,求出体对角线即为直径,从而可求球的体积.【详解】解: 二面角为,且 即 两两垂直,且, 将此三棱锥补成一个长方体,则三棱锥外接球即为长方体的外接球球心为长方体的体对角线的中点,则球的半径 .故答案为: .【点睛】本题考查了外接球问题,考查了二面角的概念,考查了球体积的求法.当三棱锥中有三条棱两两垂直时,可将三棱锥的外接球等同于长方体的外接球,求出长方体的体对角线即为直径.对于三棱锥中,没有两两垂直的三条棱时,则常常设出球心和半径,列方程求出半径.注意一点,外接球的球心与底面外接圆的圆心连线与地面垂直.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证
13、明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为若成等比数列（1）求及；（2）设，求数列前项和.【答案】(1) ,;(2) .【解析】【分析】(1)用基本量表示出,由等比中项列方程,求出首项和公差即可求及.(2)代入的通项公式进行化简,利用分组求和和裂项相消法求出.【详解】(1)解:设的公差为,则, 成等比数列 即, 解得.,.(2)解: 且 【点睛】本题考查了等比中项,考查了等差数列通项公式,考查了等差数列求和公式,考查了分组求和,考查了裂项相消求和.对于数列求和,常用
14、的方法有公式法,分组求和法,裂项相消法,错位相减法.难点在于化简计算.18.某大学就业部从该校2018年毕业的且已就业的大学本科生中随机抽取100人进行问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况.经调查发现，他们的月薪在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下频率分布直方图：若月薪在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科生就业提供更好的指导意见.其中，分别为样本平均数和样本标准差计，计算可得元（同一组中的数据用该区间的中点值代表）.（1）现该校2018届大学本科生毕业生张铭的月薪为3600元，试判断张铭是否属于“就业不理想”的学
15、生？（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽取6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000 元的概率.【答案】(1)属于;(2).【解析】【分析】(1)由频率分布直方图求出,从而得到具体的,即可判断.(2)结合分层抽样的知识点首先求出前三组各抽多少人,然后结合排列组合的思想求出从6人中抽取2人的组合数以及恰有一人月薪不超过5000 元的组合数,最后由古典概型概率公式即可求出.【详解】(1)解: 由频率分布直方图知则.在的左侧，所以张铭属于“就业不理想”的学生.(2)解:前三组频率之
16、比为 所以抽取的6人中,第一组有1人,第二组有2人,第三组有3人.从6人中再抽2人的组合数为种. 其中,恰有一人月薪不超过5000 元的组合数为 种.设”恰有1人月薪不超过5000 元”.则 所以获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000 元的概率为.【点睛】本题考查了由频率分布直方图估计样本平均数,考查了古典概型,考查了分层抽样,考查了排列组合.本题的难点在于计算.易错点是记错求平均数公式,误用每个长方形的高与其横坐标中点相乘.19.如图所示，有公共边的两个矩形与,现将矩形沿翻折至处，使二面角为直二面角，若 （1）证明：平面平面；（2）若点在直线上运动，当与所成的角为时，求三棱锥的体积【
17、答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析】(1)由二面角为直二面角可知,进而可证面,即,又有,可知面,由面面垂直的判定定理可证.(2)由与所成的角为求出 的长度,进而求出 到平面 的距离,再算出 的面积,即可求三棱锥的体积.【详解】(1)证明: 且二面角为直二面角. 面 面.面 面 面,平面平面.(2)解: 与所成角为.面,面 即 到平面 的距离为 .【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理,考查了二面角的概念,考查了三棱锥体积的求法.在证明两个平面垂直时,一般先证平面内的一条线与另外一个平面垂直.本题的难点在于第二问中线线夹角的利用.20.已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足.（1）求
18、动点的轨迹的方程；（2）设,过点的动直线与曲线 交于(不同于)两点.问：直线与的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.【答案】(1) ;(2)是定值为.【解析】【分析】(1)设,根据,用 表示,代入即可求出轨迹的方程.(2)设出直线方程,与轨迹的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断.【详解】(1)解:设,则. 解得 在上, ,整理得故动点的轨迹的方程为.(2)解:由题意知, 的斜率不为0,则设, ,与曲线 方程联立得 ,整理得 则 直线的斜率,直线的斜率此时 所以直线与的斜率之比是定值,为.【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的
19、位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为.本题难点是,有韦达定理找出.21.已知函数的图象在点处的切线方程为函数.（1）求的值，并求函数在区间的最小值（2）证明：【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】【分析】(1)求出,根据切线的斜率为切点处的导数值可得,由切点既在直线上又在 上得,进而求出 ,确定.利用导数求出在区间的最小值.(2)构造,利用导数证明 在 恒成立.结合数学归纳法证明.【详解】(1)解:,则. 在点处的切线方程为 解得 .所以. 令 ,解得.则 随 的变化如下表 1 0 0
20、 则 在单调递增,所以.(2)证明:设 ,则 恒成立即在 单调增减. 所以 ,即 在 恒成立.当 时,左边,右边 左边,所证成立.假设当时,不等式成立,即当时,左边= 右边.综上所述: .【点睛】本题考查了函数的切线问题,考查了导数求最值,考查了数学归纳法.数学归纳法证明不等式时,关键是对不等式进行放缩,有时需要结合函数的思想.本题的难点在于证明.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（）曲线C的普通方程
21、和直线的直角坐标方程；（）求曲线C上的点到直线的距离的取值范围.【答案】（）.（）【解析】【分析】（）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即，结合，所以将参数方程化为，即可化为普通方程；展开，代入，即可化为直角坐标方程；（）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.【详解】解：（），平方后得，又，的普通方程为.，即，将，代入即可得到.（）将曲线C化成参数方程形式为（为参数），则，其中所以.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.23.设函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意，恒有，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法，当，分三种情况讨论，求解不等式即可得解；（2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得，再转化为恒成立，再分和讨论即可得解.【详解】解：（1）当时，则等价于或或，解得或，所以的解集为（2）由绝对值不等式的性质有：，由恒成立，有恒成立，当时不等式显然恒成立，当时，由得，综上，的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.