1、1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理第二课时 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题其区别在于：分类加法计数原理针对的是“_”问题，其中各种方法_，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“_”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分，并且完成这件事的任何一种方法都需要分步，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事分类相互独立分步双基自测1上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房 10 间，中等房 20 间，一般房
2、 25 间，则客人的选法有()A500 种 B5 000 种C55 种D10 种解析：选法为 10202555(种)C2从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 abi，其中虚数有()A30 个B42 个C36 个D35 个解析：完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部 b 有 6 种选法；第二步，实部 a有 6 种选法由分步乘法计数原理知，共有虚数 6636(个)C探究一 分类加法计数原理的综合应用 例 1 在直角坐标系 xOy 中，已知AOB 的三边所在直线方程分别为 x0，y0,2x3y30，则AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是_个 解
3、 析 分 别 令 x 0,1,2，15，可 得 y 的 最 大 的 自 然 数 分 别 为10,9,8,8,7,6,6,5,4,4,3,2,2,1,0,0.所 以 当x 0,1,2，15时，分 别 有11,10,9,9,8,7,7,6,5,5,4,3,3,2,1,1 个整点故整点总数为 11109987765543321191(个)答案 91本题主要借助直线和整点的有关知识，考查分类加法计数原理的应用解本题宜采用“数形结合”的方法1已知直线 m 与 n 除有一个公共点外，m 上还有 3 个点，n 上还有 4 个点，则通过其中两点可以构成_条直线解析：分两类：第一类，除公共的点外，在 m 上取一
4、个点，在 n 上取一个点，可构成 3412 条直线；第二类，有 2 条直线，它们是 m 和 n.故可以构成 12214条直线答案：14探究二 分步乘法计数原理的综合应用 例 2(1)8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学，每人 1 本，有多少种不同的分法？(2)将 4 封信投到 3 个邮筒里，有多少种不同的投法？(3)3 位旅客到 4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解析(1)分三步，每个同学分一本书，第一、二、三个同学分别有 8、7、6 种分法，由分步乘法计数原理知，不同分法共有 N876336(种)(2)完成这件事可以分为四步第一步，投第一封信，可以在 3 个邮筒中任选一个，因此
5、有 3 种投法；第二步，投第二封信，也有 3 种投法；第三步，投第三封信，也同样有 3种投法；第四步，投第四封信，仍然有 3 种投法由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有 N333381(种)(3)分三步，每位旅客都有 4 种不同的住宿方法，因而不同的住宿方法共有 N44464(种)应用分步乘法计数原理时，要学会适当地分步，把事件分成 n 个步骤，依次完成各个步骤就可以完成这件事情，注意本例中(2)(3)两问的不同2电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字
6、符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8 个二进制位构成问：(1)一个字节(8 位)最多可以表示多少个不同的字符？(2)计算机汉字国标码(GB 码)包含了 6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？解析：(1)用下图来表示一个字节：第 1 位 第 2 位 第 3 位 第 8 位 2 种 2 种 2 种 2 种一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 2222222228256 个不同的字符(2)由(1)知，用一个字节所能表示
7、的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用 2 个字节能够表示多少个字符前一个字节有 256 种不同的表示方法，后一个字节也有 256 种表示方法根据分步计数原理，2 个字节可以表示 25625665 536 个不同的字符，已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763.所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2个字节表示探究三 两个计数原理的综合应用 例 3 将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种(以数字作答)？解析 分别用 a，b，c 代表 3 种作物，先安排第一块试验田，有 3 种方法，不妨设种 a，再安排
8、第二块试验田种 b 或 c，有 2 种方法，不妨设种 b，安排第三块试验田也有 2 种方法，种 c 或 a.(1)若第三块试验田种 c：abc 则第四、五块田分别有 2 种种法，共有 22 种种法.(2)若第三块试验田种 a：aba第四块田仍有 2 种种法.若第四块田种 c：abac则第五块田仍有 2 种种法.若第四块田种 b：abab则第五块田只能种 c，只有 1 种种法.综上，共有 3222(21)42 种种法.按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都能完成这件事情，而分步中的
9、每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解析：解法一(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有 326 种不同种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有 326 种不同种植方法.故不同的种植方法共有 6318(种).解法二(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种，种在三块地上，有 43224(种)，其中不种黄瓜有 3216(种)，故共有不同种植方法 24618(种).两个计数原理的灵活应用 典例(1)某公司电脑采购员计划用不超过 300 元的资
10、金购买单价分别为 20 元、40 元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买 5 个，键盘至少买 3 个，则不同的选购方式共有()A.7 种 B8 种C.9 种D10 种(2)四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？解析(1)依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解.若买 5 个鼠标，则可买键盘 3、4、5 个；若买 6 个鼠标，则可买键盘 3、4 个；若买 7 个鼠标，则可买键盘 3、4 个；若买 8 个鼠标，则可买键盘 3 个；若买 9 个鼠标，则可买键盘 3 个.根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有 322119(种)故选 C.(2)把四个
11、人分别编号、，他们写的 4 张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：四个人取贺年卡的方法222333444134144133441412212313221321方法编号123456789由表格可知，共有 9 种不同的方法.答案(1)C(2)9 种感悟提高计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有_种.解析：三个班在四个工厂中任意选择一个进行社会实践，共有 43种不同方案，其中工厂甲没有班选择，即三个班分别在乙、丙、丁三个工厂中选择一个的方法有 33 种，故符合题意的不同分配方案有 433337(种).答案：3703 课后 巩固提升