1、第三课时定点、定值、探索性问题KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究考点一圆锥曲线的定值问题自主练透例1 (2018北京高考)已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(1,2)过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解析(1)因为抛物线y22px过点(1,2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x，由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解
2、得k0或0kb0)的左右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线yx3相切，点P在椭圆C上，|PF1|2，F1PF260.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A、B两点，且kOAkOB，AOB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解析(1)依题意有b，b23，由|PF1|2及椭圆的定义得|PF2|2a2，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2|F1F2|2，即a23a3c2，又a2c2b23，a2，故椭圆的方程为1.(2)联立可得，(34k2)x28kmx4m2120，则34k2m20，又x1x2
3、，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，由kOAkOB，可得，y1y2x1x2，2m24k23，满足，|AB|，SOABd|AB|为定值考点二圆锥曲线中的定点问题师生共研例2 (2019辽宁省辽阳市模拟)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，O为坐标原点，点O到直线AF2的距离为，AF1F2为等腰直角三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标解析(1)由题意可知：直线AF2的方程为1，即bxcybc0，则，因为AF1F2为等腰直角
4、三角形，所以bc，又a2b2c2，可解得a，b1，c1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：由(1)知A(0，1)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxt(t1)代入y21，得(12k2)x24ktx2t220，所以16k2t24(12k2)(2t22)0，即t22k20)，直线yx1与C相交所得的弦长为8.(1)求p的值；(2)已知点O为坐标原点，一条动直线l与抛物线C交于O，M两点，直线l与直线x2交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点解析(1)设直线与抛物线的两交点坐标分别为：(x1，y1)，(x2，y2)，由得，消x可得y22py2p0，y1y
5、22p，y1y22p.弦长为8，解得p2或p4(舍去)，p2.(2)由(1)可得y24x，设M(y，y0)，直线OM的方程yx，当x2时，yH，代入抛物线方程y24x，可得xN，N(，)，直线MN的斜率k，直线MN的方程为yy0(xy)，整理可得y(x2)，故直线MN过点(2,0)考点三圆锥曲线中的探索性问题师生共研例3 (2020山东省模拟)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点(1，)，且离心率为.F为E的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF.(1)求E和F的方程；(2)若直线l：yk(x)(k0)与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|
6、BD|？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)设椭圆E的方程为1(ab0)，由e，从而得e21，从而，即a24b2.又椭圆过点(1，)，从而得1，解得a24，b21，从而所求椭圆E的方程为y21.所以F(，0)，令x，得|PF|r，所以F的方程为(x)2y2.(2)不存在，理由如下：若|AC|BD|，则1|AB|AC|CB|DB|CB|DC|.联立，整得，得(4k21)x28k2x12k240.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则，从而|CD|x1x2|.由|DC|1，从而4k244k21，从而41矛盾从而满足题设条件的直线l不存在名师点拨 圆锥曲线中的探索性问题1圆锥曲线中的
7、存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论2圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在反证法与验证法也是求解探索性问题常用的
8、方法3解决探索性问题的答题模板变式训练3(2020河南省八市重点高中联盟联考)已知抛物线C：y24x的准线为l，M为l上一动点，过点M作抛物线C的切线，切点分别为A，B(1)求证：MAB是直角三角形；(2)x轴上是否存在一定点P，使A，P，B三点共线解析(1)由已知得直线l的方程为x1，设M(1，m)，切线斜率为k，则切线方程为ymk(x1)，将其与y24x联立消x得ky24y4(mk)0.所以1616k(mk)0，化简得k2mk10，所以k1k21，所以MAMB即MAB是直角三角形(2)由(1)知1616k(mk)0时，方程ky24y4(mk)0的根为y，设切点A(，y1)，B(，y2)，则y1，y2，因为k1k21，所以y1y24.设lAB：xnyt，与y24x联立消x得y24ny4t0，则y1y24t，所以4t4，解得t1，所以直线AB过定点P(1,0)即x轴上存在一定点P(1,0)，使A，P，B三点共线
