1、一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知，其中是实数，是虚数单位，则A B C D【答案】D考点：1.复数的运算；2.复数的模长.2. 已知集合，则A B C D【答案】C【解析】试题分析：，.考点：1.函数的定义域；2.集合的运算. 3. 某校共有高一、高二、高三学生人，其中高一人，高二比高三多人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生人，则该样本中的高三学生人数为A B C D 【答案】B【解析】试题分析：设高三学生总人数为，样本中高三学生人数为，则，得；由分层抽样的特点（等比例抽样）
2、，得，得，即样本中的高三人数为78.考点：分层抽样.4. 函数的值域为A B C D【答案】C考点：函数的定义域.5. 已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为时，则输出的结果为 A B C D 【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，得；，输出，即输出结果为5.考点：程序框图.6. 已知圆与轴相交于两点，则弦所对的圆心角的大小为 A B C D【答案】C【解析】试题分析：令，得，即圆与轴的交点坐标为,即；而圆,即的半径为,则圆心角.考点：直线与圆的位置关系.7.“”是“函数有零点”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既
3、不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：令，若有解，则，即；，“”是“函数有零点”的充分不必要条件.考点：1.函数的零点；2.充分条件、必要条件.8. 已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是A B C D 【答案】B【解析】试题分析：因为函数的图象过点，所以，且，则；令，即，即的图象的一个对称中心是.考点：1.三角函数的解析式；2.三角函数的图像与性质.9. 设满足约束条件，则下列不等式恒成立的是A B C D【答案】C【解析】试题分析：作出可行域及其选项中的直线，由图像可以看出，直线经过点，且可行域在该直线的右上方，符合；直线经过该可行域，不满足恒成立；故选C考点：不等式（组）与
4、平面区域.10. 如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函数是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为A B C D【答案】D【解析】试题分析：在上单调递增，且在上单调递减，且，则其“缓增区间”为.考点：1.新定义型题目；2.函数的单调性.二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 已知不共线的平面向量，满足，那么 ； 【答案】【解析】试题分析：，即.考点：1.平面向量垂直的判定；2.平面向量的模长.12. 已知函数则 ；【答案】1【解析】试题分析：由题意，得，.考点：分段函数.13. 已知实数满足，则的最大值是
5、；【答案】【解析】试题分析：由基本不等式，得，即，即，即的最大值为.考点：基本不等式.14. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ； 【答案】32【解析】试题分析：由三棱锥的三视图，可知：三棱锥的底面三角形的底是8，高为6，其底面面积是；三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积.考点：1.三视图；2.几何体的体积.15. 已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为 【答案】【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线方程为，过焦点，斜率为的直线方程为，联立，得，即；则，解得，即，即双曲线的离心率.考点：1.双曲线的几何性质；2
6、.两条直线的位置关系.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）某区工商局、消费者协会在月号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识组织方从参加活动的群众中随机抽取名群众，按他们的年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.（）若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，求被采访人恰好在第组或第组的概率；（）已知第组群众中男性有人，组织方要从第组中随机抽取名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用每
7、个矩形的面积为频率以及所有矩形面积之和为1进行求解；（2）列举基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解.试题解析：（）设第组的频率为； 3分第组的频率为所以被采访人恰好在第组或第组的概率为 6分（）设第组的频数，则 7分记第组中的男性为，女性为随机抽取名群众的基本事件是：，共种 10分其中至少有两名女性的基本事件是：，共种所以至少有两名女性的概率为12分考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.17（本小题满分12分）已知向量,实数为大于零的常数，函数,且函数的最大值为.（）求的值；（）在中，分别为内角所对的边，若，,且,求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量
8、积得到，再利用二倍角公式及配角公式将化成的形式，再利用最值求值；（2）先求出角，再利用余弦定理求出的值，最后利用平面向量的数量积进行求解.试题解析：（）由已知 5分因为，所以的最大值为，则 6分（）由（）知，所以化简得因为，所以则，解得 8分所以化简得，则10分所以12分考点：1.平面向量的数量积运算；2.三角函数恒等变形；3.余弦定理.18（本小题满分12分）如图，在正四棱台中，、分别是、的中点. （）求证：平面平面；（）求证：平面.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.【答
9、案】（1）证明略；（2）证明略.【解析】试题分析：（1）构造辅助线，构造平行四边形证明线线平行，进而利用线面平行的判定定理得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明面面平行；（2）利用菱形的性质，得到线线垂直，再利用线面垂直与面面垂直的性质得到线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理证得线面垂直.试题解析：（）连接，分别交于，连接由题意，因为平面，平面，所以平面 2分又因为，所以又因为、分别是、的中点，所以所以又因为，所以所以四边形为平行四边形所以因为平面，平面，所以平面因为，所以平面平面 5分（）连接，因为，所以四边形为平行四边形因为，所以四边形为菱形所以 9分因为平面,平面所以平面平面，因为，
10、所以平面因为平面，所以因为，所以平面. 12分考点：1.空间中平行关系的转化；2.空间中垂直关系的转化.19（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）若数列满足（），且，试求的通项公式及其前项和【答案】（1），；（2），.【解析】试题分析：（1）设的公差为，的公比为，得到关于的方程组进行求解；（2）先化简得，再仿写表达式，进行作商，分奇数项与偶数项进行讨论求得；进而求得前项和.试题解析：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且即解得：，或，由于是各项都为正整数的等比数列，所以3分从而， 5分（） ， 两式相除：， 由，可得：是以为首项，以为公比的等
11、比数列；是以为首项，以为公比的等比数列， 7分当为偶数时， 当为奇数时， 为偶数为奇数 综上, 9分 12分考点：1.等差数列、等比数列；2.数列的递推公式.20（本小题满分13分） 已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上（）求抛物线的方程； （）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为直线交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围 【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）设出点坐标，代入抛物线方程、圆的方程以及焦半径公式即可求解；（2）先根据椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，得到，联立直线与椭圆的方程，利用与根与实数的关系以
12、及进行求解.试题解析：（）设点的坐标为，由题意可知 2分解得： 所以抛物线的方程为： 4分（）由（）得抛物线的焦点 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合椭圆半焦距椭圆的离心率为，椭圆的方程为：6分设、，由得由韦达定理得：， 8分由或 10分原点在以线段为直径的圆的外部，则， 由、得实数的范围是或 13分考点：1.抛物线的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.21（本小题满分14分）已知函数（）（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（）当时，记函数，试求的单调递减区间； （）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，求的最大值【答案】（1）；（2） 或；（3）证明略.【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；(2)求导，讨论的取值进行求解；（3）求导，根据函数在区间上不存在极值，得到的取值范围，再利用二次函数的对称轴与开口方向求得最值，得到关于的不等式，再进行求解.试题解析：（）当时，则，函数的图象在点的切线方程为：，即 4分（），当时，由及可得：，的单调递减区间为6分当时， 由可得：设其两根为，因为，所以一正一负设其正根为，则 由及可得：的单调递减区间为8分（），由由于函数在区间上不存在极值，所以或 10分对于，对称轴当或，即或时，； 当，即时，； 当，即时，；综上可知： 14分考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.函数的极值；4.放缩法.