1、专题二十六 平面向量的基本定理及其坐标表示 【高频考点解读】1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【热点题型】题型一 平面向量基本定理例1、(2013年高考江苏卷)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_【提分秘籍】 1平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底；2平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的但不同的基底表示形式是不同的3用基底表示向
2、量的实质是向量的线性运算4. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将待求向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解【举一反三】如图所示，在ABC中，3，若a，b，则等于()A.abBabC.ab Dab【热点题型】题型二 平面向量的坐标运算例2、若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3abB3ab Ca3b Da3b【提分秘籍】1相等的向量坐标相同2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终
3、点的具体位置无关，只与其相对位置有关【举一反三】若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b_. 解析：设b(x，y)，则ab(x2，y1) |ab|1，(x2)2(y1)21.又ab平行于y轴，x2，代入上式，得y0或2. b(2,0)或b(2,2) 答案：(2,0)或(2,2)【热点题型】题型三 平面向量共线的坐标表示例3、已知向量a(2,1)，b(x，2)，若ab，则ab等于()A(2，1) B(2,1)C(3，1) D(3,1) 解析：由ab可得2(2)1x0，故x4，所以ab(2，1)，故选A. 答案：A【提分秘籍】 1勿将x1y2x2y10错记成x1y2x2y
4、10.2向量共线的坐标表示中，在使用比例关系时要注意x2y20，如果不能确保这点就要使用x1y2x2y10来解决，不能盲目使用比例关系【解题技巧】利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便【举一反三】已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_【热点题型】题型四 向量问题坐标化 例4、设G为ABC的重心
5、，若ABC所在平面内一点P满足220，则的值等于_ 【答案】2【提分秘籍】 向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷【举一反三】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆孤上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值【解析】以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
6、则A(1,0)，B，【高考风向标】 1（2014重庆卷） 已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0C3 D. 2（2014福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2) Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10) De1(2，3)，e2(2，3) 3（2014山东卷） 已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图像过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，若yg(x)图
7、像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间 4（2014陕西卷） 设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _【答案】【解析】因为向量ab，所以sin 2cos cos 0，又cos 0，所以2sin cos ，故tan .5（2014陕西卷） 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值 6（2013安徽卷） 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|
8、1，R所表示的区域的面积是()A2 B2 C4 D4 7（2013湖南卷） 已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B1，2C1，1 D1，2 8（2013北京卷） 向量a， b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_图13 9（2013辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A. B.C. D.【答案】A【解析】(3，4)，与方向相同的单位向量为，故选A.10（2013天津卷） 在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点，若1，则AB的长为_ 11（2013新课标全国卷 已
9、知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_ 12（2013重庆卷）如图19所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQPQ，求圆Q的标准方程图19 13（2013重庆卷） 在平面上，|OB1|1，.若|，则|的取值范围是()A. B.C. D.【随堂巩固】 1已知向量a(m2,4)，b(1,1)，则“m2”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件
10、 2.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则()AbaBbaCabDab解析：ababa.答案：A3已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则|2a3b|()A. B4 C3 D2 4在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设向量p(bc，ac)，q(ca，b)，若pq，则角A的大小是()A30 B45 C60 D90解析：pq，b(bc)(ac)(ac)，整理得b2c2a2bc，故cos A，故A60.答案：C5已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则()A2 B2 C D. 6已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,
11、3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，则m的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：由题意知向量a，b不共线，故m，解得m2.答案：D7设O在ABC的内部，且有230，则ABC的面积和AOC的面积之比为()A3 B. C2 D.解析：设AC、BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为()2()0，即20，所以2，说明M、O、N共线，即O为中位线MN上的三等分点，SAOCSANCSABCSABC，所以3.答案：A8在矩形ABCD中，AB1，AD，P为矩形内一点，且AP，若(，R)，则的最大值为()A. B. C. D. 9对向量a(a1，
12、a2)，b(b1，b2)定义一种运算“”：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知动点P，Q分别在曲线ysin x和yf(x)上运动，且mn(其中O为坐标原点)，若向量m，n，则yf(x)的最大值为()A. B2 C3 D. 10已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_. 11在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_. 12已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点，且|，其中O为坐标原点，则实数a的值为_ 13已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标 (3)设O为坐标原点，3c， 14已知a(1,0)，b(2,1)(1)求|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？ 15在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，试求t的值A，M，Q三点共线，