1、21.1曲线与方程填一填曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.判一判1.若以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上，则方程f(x，y)0即为曲线C的方程()2若曲线C上的点满足方程F(x，y)0，则坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线C上()3方程xy20是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程()4y2x与y表示同一条曲线()5过点P(
2、x0，y0)斜率为k的直线的方程是k.()6若点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上，则有f(x0，y0)0.()7以A(0,1)，B(1,0)，C(1,0)为顶点的ABC的BC边上中线的方程是x0.()8点A(1，2)，B(2，3)，C(3,10)都在方程x2xy2y10表示的曲线上()想一想1.是否所有曲线都有相应的方程？不一定，有的曲线有方程，有的曲线就没有方程如图，随意画一条曲线，则求不出方程与之对应2怎样判断方程是曲线的方程？判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验曲线上点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上3怎样理解曲线与方程的概念？(1)
3、从集合的角度来看：曲线可以看作由满足某些条件的点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.那么定义中的关系指点集C是点集F的子集；关系指点集F是点集C的子集这样用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：CF且FC，故FC.(2)从对应的角度来看：曲线与方程定义的实质是平面曲线的点集M|p(M)和方程f(x，y)0的解集(x，y)|f(x，y)0之间的一一对应关系如下所示：思考感悟：练一练1若曲线C的方程为yx(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是()A(0,0) B.C(1,5) D(4,4)答案：D2方程x2xyx表示的曲
4、线是()A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线答案：C3直线C1：xy0与直线C2：xy20的交点坐标为_答案：(1,1)4若点P(2，3)在曲线x2ky21上，则实数k_.答案：知识点一曲线与方程的概念1已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上，那么()A曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0B凡坐标不适合方程f(x，y)0的点都不在C上C不在C上的点的坐标必不适合方程f(x，y)0D不在C上的点的坐标有些适合方程f(x，y)0，有些不适合方程f(x，y)0解析：设满足方程f(x，y)0的点组成的集合M，曲线C上的所有点组成集合N，由题意可知MN.故选C.答案：C2命题“以
5、方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线上”是命题“曲线C的方程是f(x，y)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)0的解”和“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义故选B.答案：B知识点二曲线上的点与曲线方程的关系3.已知曲线C：xy3xky20，则当k_时，曲线C经过点(2，1)解析：曲线C经过点(2，1)，2(1)32k20，k6.答案：64已知点A(a,2)既是曲线ymx2上的点，也是直线xy0上的点，则m_.解析：根据点A在曲
6、线ymx2上，也在直线xy0上，有所以答案：知识点三已知方程判断曲线类型5.方程(xy1)0所表示的曲线是()解析：原方程等价于或x2y240，其中，当xy10时，方程所表示的曲线是在直线xy10上且不包括落在圆x2y24内的所有点故选D.答案：D6方程|x|y|xy|1表示的曲线是()A一条直线 B一个正方形C一个圆 D四条直线解析：由|x|y|xy|1得(|x|1)(|y|1)0，即x1或y1，因此该方程表示四条直线答案：D综合应用7.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150 B135C120 D105解
7、析：由y得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的半圆，如图所示SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB时，SAOB取最大值此时，|OC|1，则OPC30，得直线l的倾斜角为150.答案：A8在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：直线mxy2m10恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y22基础达标一、选择题1已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)()A在直线l上，但不在曲线C上B在
8、直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上解析：将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2130，(23)2(12)22，所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B.答案：B2方程x2y21(xy0)的曲线形状是()解析：因为xy0时，y0；当x0，所以排除D.答案：C5方程xy2x2y1所表示的曲线()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线yx对称解析：设P(x0，y0)是曲线xy2x2y1上的任意一点，则x0yxy01.点P关于直线yx的对称点为P(y0，x0)，又y0xyx0x0yxy01，所以点P在曲线xy2x2y1上，故该曲线关于
9、直线yx对称答案：D6已知曲线ax2by22经过点A(0,2)和B(1,1)，则a，b的值分别为()A.， B.，C， D.，解析：A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax2by22上，解得故选B.答案：B7方程x2(x2y21)20所确定的曲线是()Ay轴或圆 B两点(0,1)与(0，1)Cy轴或直线y1 D以上都不正确解析：x2(x2y21)20，x0且x2y210，它表示两点(0,1)和(0，1)故选B.答案：B8方程(y2)20表示的图形是()A圆 B两条直线C一个点 D两个点解析：由已知得即所以方程表示点(2，2)答案：C二、填空题9方程(xy1)(1)0表示的曲线为_解析：因为(xy
10、1)(1)0，所以或10，即xy10(x3)或x4.故方程表示一条射线和一条直线答案：一条射线和一条直线10曲线y|x|1与x轴围成的图形的面积是_解析：在y|x|1中，令x0得y1，令y0得x1，所以曲线y|x|1与x轴围成的图形的面积为211.答案：111|x|y|1表示的曲线围成的图形面积为_解析：方程|x|y|1表示的图形为(如图)：曲线是边长为的正方形，故面积为2.答案：212设命题甲：点P的坐标适合方程f(x，y)0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q坐标不适合f(x，y)0，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的_条件解析：依题意可知，曲线
11、C上的点的坐标都满足方程，但以方程f(x，y)0的解为坐标的点不一定都在曲线C上，那么逆否命题为以不满足方程的x，y的值为坐标的点一定不在曲线C上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件答案：充分不必要三、解答题13分析下列曲线上的点与方程的关系：(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；(2)作出函数yx2的图象，指出图象上的点与方程yx2的关系；(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|2之间的关系解析：(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即yx.可以看到：l上点的坐标都是方程xy0的解；以方程xy0的解为坐标的点都在l上(2)函数yx
12、2的图象如图所示，是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程yx2，即方程yx2对应的曲线是抛物线，抛物线的方程是yx2.(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|2的解，然而坐标满足方程|x|2的点不一定在直线l上，因此|x|2不是直线l的方程14已知方程x2(y1)210.(1)点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上？(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值解析：(1)12(21)210，()2(31)210，点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，点Q(，3)不在此曲线上(2)点M在方程x2(y1)210表示的曲线上，2(m1)210.解得m2或m.故m的值为2或.能力提升15.曲线y与曲线y|ax|0(aR)的交点个数为()A1 B2C3 D0解析：如图，曲线y表示圆x2y21的下半圆，曲线y|ax|0，即y|a|x|，当x0时，即y|a|x，当x0时，即y|a|x，得两曲线交点个数是2个故选B.答案：B16如果直线l：xyb0与曲线C：y有公共点，那么b的取值范围是_解析：曲线C：y表示以原点为圆心，以1为半径的单位圆的上半部分(包括(1,0)，如图，当l与l1重合时，b1；当l与l2重合时，b.直线l与曲线C有公共点时，1b.答案：1，