1、1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时 分类加法计数原理和分步乘法计数原理01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理一、分类加法计数原理(也称加法原理)1原理内容完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种方法，在第二类办法中有m2 种方法，在第 n 类办法中有 mn 种方法那么，完成这件事共有 N_种方法m1m2mn2问题特征(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成 n 类；(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；(3)把各类的方法数_，就可以得到完成这件事的所有方法数二、分步乘法计数原理(也称乘法原理)1原理内容完成一件事需要经过
2、n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m1 种方法，做第二步有 m2 种方法，做第 n 步有 mn种方法那么，完成这件事共有 N_种方法相加m1m2mn2问题特征(1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数_，就可以得到完成这件事的所有方法数相乘双基自测1从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有()A2 种 B3 种C5 种D6 种解析：从甲地到乙地有 2 类办法(坐飞机和坐火车)，坐飞机有 3 种方法(三次航班)，坐火车有 2 种方法(两趟火车)，所以结合分类加法计数原理，从甲地赶往乙地
3、的方法有 5 种C 2一个口袋里有 15 封信，另一个口袋里有 4 封信，每封信的内容均不相同从两个口袋中任取一封信，有_种不同的取法3已知函数 yax2bxc，其中 a，b，c0,1,2,3,4，则不同的二次函数共有_个解析：由分类加法计数原理知 N15419.19解析：a 有 4 种取法，b 与 c 各有 5 种取法，由分步乘法计数原理得共有 455100(个)100探究一 分类加法计数原理的应用 例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学医学化学会计学数学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选
4、一个专业，那么他共有多少种选择呢？解析 这名同学可以选择 A、B 两所大学中的任一所在 A 大学中有 5 个强项专业，即有 5 种选择方法，在 B 大学中有 4 个强项专业，即有 4 种选择方法由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据加法原理，这名同学可能的选择种数为 549.分类加法计数原理的关键是适当的分类分类时应注意，分类的过程中自始至终要按同一个标准，不能在前半部分按这个标准，后半部分又出现另一个标准如果有重漏现象就是分类的标准不合适，必须换一个标准进行分类1小明衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有 30 个英语单词卡片，右边口袋装有 20 个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互
5、不相同，问从两个口袋里任取一个英语单词卡片，有多少种不同的取法？解析：从口袋中任取一个英语单词卡片的方法有两类：第一类：从左边口袋取一个英语单词卡片有 30 种不同的取法；第二类：从右边口袋中取一个英语单词卡片有 20 种不同的取法上述任何一种取法都能独立完成“取一个英语单词卡片”这件事，应用分类加法计数原理，所以从中任取一个英语单词卡片有 302050 种不同的取法探究二 分步乘法计数原理的应用 例 2 用 0,1,2,3,4 这 5 个数字可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码？(2)四位数？解析(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四步完成：第一步：选取左边第一
6、个位置上的数字，有 5 种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有 5432120 个(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步完成：第一步：从 1,2,3,4 中选取一个数字作千位数字，有 4 种不同的选取方法；第二步：从剩余的四个数字中选取一个数字作百位数字，有 4 种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有 3 种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字作个
7、位数字，有 2 种不同的选取方法由分步乘法计数原理，可组成的不同的四位数共有 443296(个)利用分步乘法计数原理解决问题的注意点(1)分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可2现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共 5 个人，每个人都可以多值几天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有_种不同的排法解析：先排第一天，可排 5 人中任一人，有 5 种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有 4 种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有 4 种排法；同理，第四、五天各有 4 种排法由分步乘法计数原理，可得值班表不同的排法共有：N544
8、441 280(种)答案：1 280探究三 两个计数原理的选择 例 3 一个袋子里装有 10 张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有 12 张不同的中国联通手机卡(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？解析(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有 10 种取法；第二类：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有 12 种取法根据分类加法计数原理，共有 101222 种取法(2)想得到一张移动手机卡和一张联通手机卡可
9、分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有 10 种取法；第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有 12 种取法根据分步乘法计数原理，共有 1012120 种取法解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义具体应用时灵活性很强，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”3某公园休息处东面有 8 个空闲的凳子，西面有 6 个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，
10、有多少种坐法？解析：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有 8 种选法；第二类，选西面的空闲凳子，有 6 种选法根据分类加法计数原理，小明爸爸共有 8614(种)坐法(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西两面共 14 个凳子中选一个坐下，共有 14 种坐法(小明坐下后，空闲凳子数变成 13)；第二步，小明爸爸再就坐，从东西两面余下的 13 个空闲凳子中选一个坐下，共13 种坐法由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有 1413182 种不同的坐法对两个基本原理认识不清致误 典例(1)把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法共有_A24
11、种 B4 种C43 种D34 种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有 4 趟，轮船有 3 次，此人的走法可有_种解析(1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法；第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法；第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法只要把这 3 封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有 43 种方法(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有 437(种)答案(1)C(2)7错因与防范 1.解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后
12、应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有 34 种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算2每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装 1 封信，也可以装 2 封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有 4 种选择3在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏用 0,1,2,3,4 五个数
13、字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5种排法，共有 55553125(种)(2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4种方法，第二、三位可以排 0，因此，共有 455100(种)(3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有 4312 种排法；一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 23318种排法因而有 121830 种排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数03 课后 巩固提升