1、3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 【知识提炼】1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(_或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有_.(2)每个基本事件出现的可能性_.长度面积体积无限多个相等3.几何概型的概率公式 P(A)=_ A()()构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积【即时小测】1.思考下列问题：(1)几何概型的概率计算一定与构成事件的区域形状有关?提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关.(2)在射击中
2、，运动员击中靶心的概率是在(0，1)内吗?提示：不是.根据几何概型的概率公式，一个点的面积为0，所以概率为0.2.如图所示，在地面上放置着一个等分为8份的塑料圆盘，若将一粒玻璃球丢在该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是()A.B.C.D.1 121814【解析】选A.玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机 的，并且落在该圆盘内的任何位置是等可能的 ，因此该问题是几何 概型.由于A区域占整个圆形区域面积的，所以玻璃球落入A区域的概 率为 .48123.在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 .【解析】由几何概型知，P=.答案：3
3、1000310004.利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a-10”发生的概率为 .【解析】由题意，得0a ，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a-1x的事件的概率为 .【解析】由0 x1且0y1得到的正方形面积为S=1，而y=x恰把其面积二等分，故P=.答案：1212【知识探究】知识点 几何概型的概念及公式 观察图形，回答下列问题：问题1：几何概型与古典概型有何区别?问题2：如何求得几何概型中事件A发生的概率?【总结提升】几何概型与古典概型的异同点 类型 异同 古典概型 几何概型 不同点(基本事件的个数)一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个 一次试验的所有可能
4、出现的结果(基本事件)有无限多个 类型 异同 古典概型 几何概型 相同点(基本事件发生的等可能性)每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等【题型探究】类型一 与长度有关的几何概型【典例】1.取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率为()A.B.C.D.121314152.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为 ，则 =()A.B.C.D.12ADAB12143274【解题探究】1.典例1中，剪得两段的长都不小于2m，应将绳子几等分?提示：五等分 2.典例2中如何确定点P的位置?提示：在矩形ABCD中，分
5、别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧交CD分别于E，F，点P在线段EF上时满足题意.【解析】1.选D.如图所示.记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A.把绳子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度 等于绳长的 ，所以事件A发生的概率P(A)=.15152.选D.如图，在矩形ABCD中，分别以B，A为圆心，以AB长为半径作弧交CD分别于点E，F，当点P在 线段EF上运动时满足题设要求，所以E，F为CD的四等分点，设 AB=4，则DF=3，AF=AB=4，在直角三角形ADF中，所以 22ADAFDF7，AD7.AB4【方法技巧】求解与长度有关的几何概型的步骤(1)找
6、到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，(2)找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.(3)利用几何概型概率的计算公式P=计算.dD【变式训练】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率 .【解析】设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的 位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，这样线 段OM长度(记作|OM|)的取值范围是0，a，只有当r|OM|a时，硬 币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a.所
7、以 raarP A.0aa（，的长度，的长度答案：ara类型二 与面积有关的几何概型【典例】1.(2014辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.24682.(2015蚌埠高一检测)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 .【解题探究】1.典例1中要求质点落在以AB为直径的半圆内的概率，需要先求什么?提示：需要求长方形ABCD的面积及以AB为直径的半圆的面积.2.典例2中，如何求阴影部分的面积?提示：利用“割补法
8、”.【解析】1.选B.由题意AB2，BC1，可知长方形ABCD的面积S 212，以AB为直径的半圆的面积 故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率 2.如图所示，211S1.222P.24设OAOBr，则两个以 为半径的半圆的公共部分面积为 两个半圆外部的阴影部分面积为 所以所求概率为 答案：r22221r1r2r2()()42228（），222211r2r2rr()242288（）（），222r2281.1 r4（）221()或【方法技巧】处理面积型几何概型的策略 设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关
9、，则点落在区域g上的概率为 gP.G的面积的面积【变式训练】（2015福建高考）如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数 的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）1131A.B.C.D.6482 x1,x0,f x1 x1,x02【解题指南】求出点C和点D的坐标，转化成面积型几何概型的概率计 算.【解析】选B.因为四边形ABCD为矩形，B(1,0)且点C和点D分别在直 线y=x+1和 上，所以C(1,2)和D(-2,2)，所以阴影部分三角 形的面积 S矩形=32=6，故此点取自阴影部分的概 率 1yx12 13S3 122
10、 ，S1P.S4矩形【补偿训练】(2015衡水调研)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点 P，则PAB的面积不大于 的概率是_.【解析】如图，作PEAB，设矩形的边长ABa，BCb，PEh，S4由题意得，所以 由几何概型的概率计算公式得所求概率 答案：1Sabah244，bh2，1 ab12P.ab212类型三 与体积有关的几何概型【典例】1.(2015成都高一检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1.称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ()4814A.B.818118C.D.27272.有一个底面圆的半径为1、高为2
11、的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 .【解题探究】1.典例1中，满足题意的区域是什么?提示：满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.2.典例2中，求解与体积有关的几何概型关键是什么?提示：解与体积有关的几何概型关键是确定基本事件构成的体积与所求基本事件构成的体积.【解析】1.选C.依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点 到各面的距离均大于1，所以满足题意的点区域为：位于该正方体中 心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得满足题意 的概率为 3311P.3272.先求点P到点O的距离小于1或等
12、于1的概率，圆柱的体积V圆柱 1222，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积 则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：故点P到点O的距离大于1的概率为：答案：3142V1.233半球21323 ，121.33 23【延伸探究】1.（改变问法）若典例1中条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶 点A的距离小于 的概率【解析】到A点的距离小于 的点，在以A为球心，半径为 的球内 部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为 所以 1313133411().338337411()338P.32 32.（变换条件）若典例2中的条件变为在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
13、点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，结果如何？【解析】与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，半球体积为：“点P与点O距离大于1”事件对应的区域体积为 则点P与点O 距离大于1的概率是 31142V1.233322,3332231.212【方法技巧】1.与体积有关的几何概型概率的求法 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为 2.解决与体积有关的几何概型的关键点 解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.AP A.构成事件 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积【补偿
14、训练】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取 点M，则使四棱锥M-ABCD的体积小于 的概率为_.【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h，则 又S四边形ABCD1，所以h 若体积小于 161.2ABCD11Sh.36四边形16，则h 即点M在正方体的下半部分，所以 答案：12，1 V12P.V2正方体正方体12【补偿训练】（2015临沂高一检测）如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()1311A.B.C.D.2234【解析】选C.如图所示，要使弦的长度小于或等于半径长度
15、，只要点A在劣弧A1A2上.AA1=AA2=R，所以AOA1=AOA2=故由几何概型的概率公式得 3，213P.23【拓展延伸】与角度有关的几何概型的概率求法(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，那么事件A的概率的计算公式为 (2)解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的.AP A.事件 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度易错案例 求解几何概型问题【典例】在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则|AM|AC|的概率为()1213A.B.C.D.2244【失误案例】【错解分析】分析解题过程，
16、你知道错在哪里吗?提示：错误的根本原因是错误的选择观察角度，将等可能取点看作等可能作射线.【自我矫正】选D.在ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM在任何位置都是等可能的.在AB上取AC=AC，则ACC=67.5，故满足条件的概率为 67.53.904【防范措施】几何概型问题的关注点(1)注意审题：确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性.如本例中虽然在线段AC上任取一点M是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，(2)学会转化：几何概型常常与长度、面积、体积、角度等几何因素有关，在解答此类问题时，首先要分析题目条件，将所求问题正确转化.
