1、3.333.1&3.3.2两直线的交点坐标、两点间的距离预习课本P102105，思考并完成以下问题 1怎样求两条直线的交点坐标？ 2怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系？ 3两点间距离公式是什么？ 1两直线的交点坐标(1)两直线的交点坐标：几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：AxByC0点A在直线l上AaBbC0直线l1与l2的交点是A方程组的解是(2)两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行2两点间距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.(2)文字
2、叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根点睛(1)此公式与两点的先后顺序无关(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|x2x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|y2y1|.当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)过P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为ab()(2)不论m取何值，xy10与x2my30必相交()答案：(1)(2)2已知点A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则a的值为()A1B5C1或5D1或5解析：选C|AB|5，a5或a1.3两直线2x3yk0和xk
3、y120的交点在y轴上，那么k的值为_解析：在2x3yk0中，令x0得y，将代入xky120，解得k6.答案：6两条直线的交点问题典例求过直线2xy20和xy10的交点，且斜率为3的直线方程解法一：(点斜式法)解方程组得所以两直线的交点坐标为(1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y03x(1)，即3xy30.法二：(分离参数法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2xy2(xy1)0(其中为常数)，即(2)x(1)y20，又直线l的斜率为3，所以3，解得，将代入，整理得3xy30.求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出
4、直线方程也可用过两条直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程 活学活用三条直线ax2y70,4xy14和2x3y14相交于一点，求a的值解：解方程组得所以两条直线的交点坐标为(4，2)由题意知点(4，2)在直线ax2y70上，将(4，2)代入，得a42(2)70，解得a.两点间距离公式典例(1)已知点A(3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值；(2)已知点M(x，4)与点N(2,3)间的距离为7，求x的值解(1)设点P的坐标为(x,0)，则有|PA| ，|PB
5、| .由|PA|PB|，得x26x25x24x7，解得x.故所求点P的坐标为.|PA| .(2)由|MN|7，得|MN| 7，即x24x450，解得x19或x25.故所求x的值为9或5.若已知两点的坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题 活学活用已知点A(2，1)，B(4，3)，C(0，5)，求证：ABC是等腰三角形证明：|AB| 2，|AC| 2，|BC| 2，|AC|BC|.又点A，B，C不共线，ABC是等腰三角形.直线恒过定点问题典例求证：不
6、论为何实数，直线(2)x(1)y63都恒过一定点证明法一：(特殊值法)取0，得到直线l1：2xy30，取1，得到直线l2：x3，故l1与l2的交点为P(3,3)将点P(3,3)代入方程左边，得(2)(3)(1)363，点(3,3)在直线(2)x(1)y63上直线(2)x(1)y63恒过定点(3,3)法二：(分离参数法)由(2)x(1)y63，整理，得(2xy3)(xy6)0.则直线(2)x(1)y63通过直线2xy30与xy60的交点由方程组得直线(2)x(1)y63恒过定点(3,3)解决过定点问题常用的三种方法：(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的
7、x，y的值即为所求定点的坐标(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点，而此交点就是定点比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用活学活用已知直线：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围解：(1)证明：直线l的方程可化为ya，所以不论a取何值，直线l恒过定点A，
8、又点A在第一象限，所以不论a取何值，直线l恒过第一象限(2)令x0，y，由题意，0，解得a3.所以a的取值范围为3，).对称问题题点一：点关于点对称1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程解：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.题点二：点关于线对称2点P(3,4)关于直线xy20的对称点Q的坐标是()A(2,1) B(2,5)C(2，5) D(4，3)解析：选B设对
9、称点坐标为(a，b)，解得即Q(2,5)题点三：线关于点对称3与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是()A3x2y20 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80解析：选D由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x3y60平行，则可设所求直线方程为2x3yC0.在直线2x3y60上任取一点(3,0)，关于点(1，1)对称点为(1，2)，则点(1，2)必在所求直线上，2(1)3(2)C0，C8.所求直线方程为2x3y80.题点四：线关于线对称4求直线m：3x2y60关于直线l：2x3y10的对称直线m的方程解：在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在
10、直线m上设对称点为M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.题点五：距离和(差)最值问题5已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大解：(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)因为P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3)(2
11、)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称：点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 层级一学业水平达标1直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A(4,1) B(
12、1,4)C. D.解析：选C由方程组得即直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是.2过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与yxm平行，则|AB|的值为()A6 B.C2 D不能确定解析：选B由kAB1，得1，ba1.|AB| .3方程(a1)xy2a10(aR)所表示的直线()A恒过定点(2,3)B恒过定点(2,3)C恒过点(2,3)和点(2,3)D都是平行直线解析：选A(a1)xy2a10可化为xy1a(x2)0，由得4已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A2 B4C5 D.解析：选D根据中点坐标公式得到1且y，解得x4，y1，所以点
13、P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d.5到A(1,3)，B(5,1)的距离相等的动点P满足的方程是()A3xy80 B3xy40C3xy60 D3xy20解析：选B设P(x，y)，则，即3xy40.6点P(2,5)关于直线xy1的对称点的坐标是_解析：设对称点坐标是(a，b)，则解得a4，b1，即所求对称点坐标是(4，1)答案：(4，1)7经过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10垂直的直线l的方程为_解析：由方程组得又所求直线与直线3xy10垂直，故k，直线方程为y，即5x15y180.答案：5x15y1808在直线xy40上求一点P，使它到点M(2，4)，N(
14、4,6)的距离相等，则点P的坐标为_解析：设P点的坐标是(a，a4)，由题意可知|PM|PN|，即，解得a，故P点的坐标是.答案：9光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程解：作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.10已知两条直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试分别确定m，n的值，满足下列条件：(1)l1与l2相交于一点P(m,
15、1)；(2)l1l2且l1过点(3，1)；(3)l1l2且l1在y轴上的截距为1.解：(1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m28n0,2mm10，解得m，n.(2)显然m0.l1l2且l1过点(3，1)，解得或(3)由l1l2且l1在y轴上的截距为1.当m0时，l1的方程为8yn0，l2的方程为2x10.8n0，解得n8.m0，n8.而m0时，直线l1与l2不垂直综上可知，m0，n8.层级二应试能力达标1直线l：x2y10关于点(1，1)对称的直线l的方程为()A2xy50 Bx2y30Cx2y30 D2xy10解析：选C由题意得ll，故设l：x2yc0，在l上取点A(1,0)
16、，则点A(1,0)关于点(1，1)的对称点是A(1，2)，所以12(2)c0，即c3，故直线l的方程为x2y30，故选C.2已知平面上两点A(x，x)，B，则|AB|的最小值为()A3 B.C2 D.解析：选D|AB|当且仅当x时等号成立，|AB|min.3无论k为何值，直线(k2)x(1k)y4k50都过一个定点，则该定点为()A(1,3) B(1,3)C(3,1) D(3，1)解析：选D直线方程可化为(2xy5)k(xy4)0，此直线过直线2xy50和直线xy40的交点由解得因此所求定点为(3，1)故选D.4已知点A(3，1)，B(5，2)，点P在直线xy0上，若使|PA|PB|取最小值，
17、则P点坐标是()A(1，1) B(1,1)C. D(2,2)解析：选C点A(3，1)关于直线xy0的对称点为A(1，3)，直线AB的方程为yx，与xy0联立方程组并解得所以点P.5若两直线(m2)xym0，xy0与x轴围成三角形，则实数m的取值范围是_解析：当直线(m2)xym0，xy0及x轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形当m2时，(m2)xym0与x轴平行；当m3时，(m2)xym0与xy0平行；当m0时，三条直线都过原点，所以m的取值范围为m|m3，且m2，且m0答案：m|m3，且m2，且m06若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则k的取值范围是_解析：法一：由题意
18、知直线l过定点P(0，)，直线2x3y60与x，y轴的交点分别为A(3,0)，B(0,2)，如图所示，要使两直线的交点在第一象限，则直线l在直线AP与BP之间，而kAP，k.法二：解方程组得由题意知x0且y0.由0可得3k20，6k20，解得k.答案：7已知ABC的一个顶点A(2，4)，且B，C的角平分线所在直线的方程依次是xy20，x3y60，求ABC的三边所在直线的方程解：如图，BE，CF分别为B，C的角平分线，由角平分线的性质，知点A关于直线BE，CF的对称点A，A均在直线BC上直线BE的方程为xy20，A(6,0)直线CF的方程为x3y60，A.直线AA的方程是y(x6)，即x7y60
19、，这也是BC所在直线的方程由得B，由得C(6,0)，AB所在直线的方程是7xy100，AC所在直线方程是xy60.8已知两直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24(0a1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)|AD|，|BC|b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h(b1)，由梯形的面积公式得4，b29，b3.又b1，b3.从而得直线l2的方程是xy30.层级二应试能力达标1已知直线3xy30和6xmy10互相平行，则它们之间的距离是()A4B.C. D.解析：选D3x2y30和6xmy10互相平行，m2.直线6x2y10可以化为3xy0，由两条平行直线间的
20、距离公式，得d，选D.2两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是()A0d3 B0d5C0d4 D3d5解析：选B当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|5，所以0d5.3如果点P到点A，B及直线x的距离都相等，那么满足条件的点P有()A0个 B1个C2个 D无数个解析：选B因为点P到点A，B的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线y上直线AB与直线x平行，且两平行线间的距离为1.又1，所以满足条件的点P有1个4已知定点P(2,0)和直线l：(13)x(12)y25(R)，则点P到直线l的距离的最大值为()A2 B.C. D2解析：选B将(13
21、)x(12)y25变形，得(xy2)(3x2y5)0，所以l是经过两直线xy20和3x2y50的交点的直线系设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d|PQ|，即点P到直线l的距离的最大值为.5已知5x12y60，则 的最小值是_解析： 表示直线5x12y60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x12y60的垂线段的长最小，故最小值为d.答案：6在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有_条解析：由题可知所求直线显然不与y轴平行，可设直线为ykxb，即kxyb0.d11，d2
22、2，两式联立，解得b13，b2，k10，k2.故所求直线共有两条答案：27已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程解：由题意知，若截距为0，可设直线l的方程为ykx.由题意知3，解得k.若截距不为0，设所求直线l的方程为xya0.由题意知3，解得a1或a13.故所求直线l的方程为yx，yx，xy10或xy13 0.8已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)试求(a2)2(b2)2的取值范围解：由(a2)2(b2)2联想两点间的距离公式，设Q(2，2)，又P(a，b)，则|PQ| ，于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值如
23、图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即.当PQAB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为xy10.则Q点到直线AB的距离d，(a2)2(b2)213.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角为()A45B135C90 D60解析：选AA(2,0)，B(5,3)，直线AB的斜率k1.设直线AB的倾斜角为(0180)，则tan 1，45.故选A.2点F(，0)到直线xy0的距离为()A. B
24、.mC3 D3m解析：选A由点到直线的距离公式得点F(，0)到直线xy0的距离为.3和直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析：选A设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，y)，因为点(x，y)在直线3x4y50上，所以3x4y50.4如果直线l过(2，2)，(2,4)两点，点(1 344，m)在直线l上，那么m的值为()A2 014 B2 015C2 016 D2 017解析：选D由两点式，得，当x1 344时，m2 017，故选D.5已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)
25、，C(4,3)，则顶点D的坐标为()A(3,4) B(4,3)C(3,1) D(3,8)解析：选A设D(m，n)，由题意得ABDC，ADBC，则有kABkDC，kADkBC，解得点D的坐标为(3,4)6直线l过点A(3,4)且与点B(3,2)的距离最远，那么l的方程为()A3xy130 B3xy130C3xy130 D3xy130解析：选C由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，kAB，kl3，由点斜式得，y43(x3)，即3xy130.7等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是()A(2,0)或(4,6) B(2,0)或(6,4)C(4,6) D(0
26、,2)解析：选A设B点坐标为(x，y)，根据题意知解得或8已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20解析：选D依题意，设直线l：y4k(x3)，即kxy43k0，则有，因此5k2k6，或5k2(k6)，解得k或k2，故直线l的方程为2x3y180或2xy20.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分请把正确答案填在题中的横线上)9已知点M(5,3)和点N(3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，则有
27、解得答案：(1，5)10若过点P(1a,1a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是_解析：k0，得2a0)与直线xny30互相平行，且它们间的距离是，则m_，n_.解析：由题意，所给两条直线平行，n2.由两条平行直线间的距离公式，得d，解得m2或m8(舍去)答案：2215已知直线l的倾斜角为135，且经过点P(1,1)，则求直线l的方程为_，点A(3,4)关于直线l的对称点A的坐标为_解析：ktan 1351，l：y1(x1)，即xy20.设A(a，b)，则解得a2，b1，A的坐标为(2，1)答案：xy20(2，1)三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的
28、文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3,3)及点P为顶点的ABP的面积为5.解：设点P的坐标为(a,0)(a0)，点P到直线AB的距离为d.由已知，得SABP|AB|dd5，解得d2.由已知易得，直线AB的方程为x2y30，所以d2，解得a7或a13(舍去)，所以点P的坐标为(7,0)17(本小题满分15分)一条光线从点A(2,3)出发，经y轴反射后，通过点B(4，1)，求入射光线和反射光线所在的直线方程解：点A(2,3)关于y轴的对称点为A(2,3)，点B(4，1)关于y轴的对称点为B(4，1)则入射光线所在直线的方程为AB：
29、，即2x3y50.反射光线所在直线的方程为AB：，即2x3y50.18(本小题满分15分)已知点A(m1,2)，B(1,1)，C(3，m2m1)(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若ABBC，求实数m的值解：(1)因为A，B，C三点共线，且xBxC，则该直线斜率存在，则kBCkAB，即，解得m1或1或1.(2)由已知，得kBC，且xAxBm2.当m20，即m2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC0，于是ABBC；当m20，即m2时，kAB，由kABkBC1，得1，解得m3.综上，可得实数m的值为2或3.19(本小题满分15分)直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为
30、坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：AOB的周长为12；AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：设直线方程为1(a0，b0)，由条件可知，ab12.由条件可得ab6.又直线过点P，1，联立，得解得所求直线方程为1.20(本小题满分15分)已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点O的距离为2的直线的方程；(2)求过点P且与原点O的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P且与原点O的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由解：(1)当直线的斜率不存在时，方程x2符合题意当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y1k(x2)，即kxy2k10.根据题意，得2，解得k.则直线方程为3x4y100.故符合题意的直线方程为x20或3x4y100.(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线则其斜率k2，所以其方程为y12(x2)，即2xy50.最大距离为.(3)不存在理由：由于原点到过点(2，1)的直线的最大距离为，而6，故不存在这样的直线