1、青岛市高三教学质量统一检测 2011.03数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.3. 第卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按
2、以上要求作答的答案无效.参考公式：台体的体积公式为：，其中，分别为台体的上、下底面积，为台体的高.第卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数的共轭复数为. . . .2. 已知全集，集合，则等于. . . .3. 下列四个函数中，在区间，上是减函数的是. . . .4. 已知直线 、，平面、，且，则是的.充要条件 .充分不必要条件 .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件5. 二项式的展开式中，项的系数为. . . .6. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆圆心的抛物线方程是. . .
3、 .正视图侧视图俯视图7. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为和，腰长为的等腰梯形，则该几何体的体积是. . . .8. 若，若的最大值为，则的值是. . . .9. 已知等差数列的前项和为，若、三点共线，为坐标原点，且(直线不过点)，则等于. . . .10. 定义运算：，将函数向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是. . . .11. 下列四个命题中，正确的是.已知函数，则；.设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加个单位；.已知服从正态分布,，且，则.对于命题：,使得，则：，均有12. 若，当，时，若在区间，内有两个零点，则实数的取
4、值范围是.， .， .， .， 第卷 (选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 某时段内共有辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过的汽车数量为 开始输出结束14. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，图中判断框内处应填的数为 15. 若不等式对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围 16. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知向量，向量，函数.()求的最小正周期；()已知，分别为内角，的对边，为锐角，且恰
5、是在，上的最大值，求，和的面积.18. (本小题满分12分)如图，为矩形，为梯形，平面平面，.()若为中点，求证：平面；()求平面与所成锐二面角的余弦值. 19. (本小题满分12分)某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：休假次数人数根据上表信息解答以下问题：()从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间，上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；()从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望. 20.(本小题满分12分)已知数列满足，且，为的前项和.()求证：数列是等比数列，并求
6、的通项公式；()如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21.(本小题满分12分)已知函数.()当时，求函数在，上的最大值、最小值；()令，若在，上单调递增，求实数的取值范围. 22.(本小题满分14分)已知圆：，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.()求动点的轨迹的方程；()设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；()过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 青岛市高三教学质量统一检测 2011.03高中数学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共
7、12小题每小题5分，共60分A C B B D D B A B A A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 14. 15. 16 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）解: () 2分5分因为，所以6分 () 由()知：时,由正弦函数图象可知,当时取得最大值所以,8分由余弦定理，10分从而12分18（本小题满分12分）() 证明:连结,交与,连结，中，分别为两腰的中点 2分因为面,又面，所以平面4分 () 设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则6
8、分设平面的单位法向量为，则可设7分设面的法向量，应有即：，解得：，所以10分11分所以平面与所成锐二面角的余弦值为12分19（本小题满分12分）解:() 函数过点，在区间上有且只有一个零点，则必有即：，解得：所以，或3分当时，当时，5分与为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以6分 () 从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，则的可能取值分别是，7分于是，10分从而的分布列：0123的数学期望： 12分20（本小题满分12分）解: () 对任意,都有，所以则成等比数列,首项为，公比为2分所以，4分 () 因为所以6分因为不等式，化简得对任意恒成立7分设，则8分当,为单
9、调递减数列，当,为单调递增数列,所以, 时, 取得最大值11分所以, 要使对任意恒成立，12分21（本小题满分12分）解: ()时, ，令,得或2分可以看出在取得极小值,在取得极大值5分而由此, 在上,在处取得最小值,在处取得最小值6分()7分在上恒有考察的对称轴为(i)当,即时，应有解得:，所以时成立9分(ii)当,即时，应有即:解得11分综上：实数的取值范围是12分22. （本小题满分14分）解: () 因为的垂直平分线交 于点. 所以 所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆2分设椭圆的标准方程为则，则椭圆的标准方程为4分() 设，则 因为则 由解得7分所以直线的斜率8分()直线方程为，联立直线和椭圆的方程得: 得9分由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，设则假设在轴上存在定点，满足题设，则因为以为直径的圆恒过点,则，即: (*)因为则(*)变为11分 由假设得对于任意的,恒成立，即解得13分因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.14分