1、25直线与圆锥曲线1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系2.能用坐标法解决直线与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题 3体会数形结合思想1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况2圆锥曲线的弦直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段长就是弦长.1直线ykx2与抛物线y28x只有一个公共点，则k值为()A1B1或3C0D1或0答案：D2当直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线一定相切吗？解：不一定(1)当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交；(2)当直线与抛物线的对称轴不平行且两者只有一个公共点时，
2、直线与抛物线相切直线与圆锥曲线交点的个数k为何值时，直线ykx2和曲线2x23y26有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？【解】联立两方程得，整理得(23k2)x212kx60，因为24(3k22)，当0时，即k或k时，直线与曲线有两个公共点当0时，即k时，直线与曲线有一个公共点当0时，即k时，直线与曲线没有公共点直线与二次曲线的公共点问题，往往解由直线方程与二次曲线的方程组成的方程组并消去x(或y)后，得到一个形式上为二次的一元二次方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为0(有时需讨论)，是二次方程时还要判断与0的大小关系 已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，试讨论下列条
3、件下实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点解：联立方程组消去y，得(1k2)x22k2xk240.(*)当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)(1)由解得k，且k1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点故当k1或1k1或1k时，直线与双曲线有两个公共点(2)当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点；由解得k，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共
4、点故当k1或k时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3)由解得k，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线没有公共点故当k时，直线与双曲线没有公共点弦长问题已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长【解】因为a24，b21，所以c，所以右焦点F(，0)，所以直线l的方程为yx.由消去y并整理得5x28x80.设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB| ，即弦AB的长为.弦长的求法(1)求出直线与圆锥曲线的交点，利用两点间的距离公式求弦长；(2)设而不求设直线ykxm(kR，mR)，弦长|AB|，A(x1，y1)，B(
5、x2，y2)，联立直线与圆锥曲线的方程，消去y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程，利用弦长公式|AB|x1x2| 求解 双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点(1)若l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b，若l的斜率存在，且|AB|4，求l的斜率解：(1)设A(xA，yA)由题意，F2(c，0)，c，yb2(c21)b4，因为F1AB是等边三角形，所以2c|yA|，即4(1b2)3b4，解得b22.故双曲线的渐近线方程为yx.(2)由已知F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：yk(x2)由
6、，得(k23)x24k2x4k230.因为l与双曲线交于两点，所以k230，且36(1k2)0.由x1x2，x1x2，解(x1x2)2，故|AB|x1x2|4，解得k2，故l的斜率为.中点弦问题过椭圆1内一点P(2，1)作一条直线交椭圆于A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程【解】法一：如图，设所求直线的方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，所以x1x2.因为P为弦AB的中点，所以2.解得k，所以所求直线的方程为x2y40.法二
7、：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P为弦AB的中点，所以x1x24，y1y22.又因为A、B在椭圆上，所以x4y16，x4y16.两式相减，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.所以，即kAB.所以所求直线方程为y1(x2)，即x2y40.解决中点弦问题的两种常用方法(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解 已知抛物线y24x，求以点P(4，1)为中点的抛物线弦AB所在直线的方程解：法一：由条件可知直线AB的斜率存在，且不为0，设lAB
8、：m(y1)x4，即xmy4m.代入抛物线的方程得y24my164m0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m.又y1y2212，所以4m2，m且满足0.所以弦AB所在直线的方程为2xy70.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，则所以yy4(x2x1)，即(y1y2)4.又y1y22，k，所以2k4，k2，所以弦AB所在直线的方程为y12(x4)，即2xy70.1判断直线与圆锥曲线的交点个数问题其基本方法是讨论由直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组的解的个数进而消元化成只有一个未知数的一元二次方程的解的个数，通过判别式来判定在解答过程中要注意两点：一是二次项系
9、数是否为零；二是对于变量的取值受到特别限制的情况要数形结合2圆锥曲线中弦的中点问题(1)若题目条件中含有中点，则隐含了直线与圆锥曲线的位置关系是相交，直线与圆锥曲线联立，消元后的一元二次方程应大于0，一般用来限制参数的取值范围(2)解题过程中交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)与中点M(x0，y0)的关系是，然后根据根与系数的关系，求x1x2或y1y2，再利用直线的方程求y1y2或x1x2，从而构造中点坐标当直线与圆锥曲线相交时一定注意对直线斜率是否存在进行讨论，同时，当直线过x轴上一个定点(c，0)时，直线方程设为xmyc，此种设法，在抛物线中运用，显得更为方便1“直线与双曲线有一个公共点
10、”是“直线与双曲线相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：B2直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()Am1Bm1且m3Cm3Dm0且m3答案：B3直线ya与椭圆1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_答案：(，)4已知双曲线y21与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相关交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2()ABC2 D2解析：选A设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y1，y1，根据点差法可得(y1y2)(y1y2)，所以直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为
11、k2，k1k2，故选AA基础达标1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交B相切C相离 D不确定解析：选A因为ykxk1，所以y1k(x1)，过定点(1，1)，定点在椭圆1内部，故选A2椭圆1的右焦点到直线yx的距离是()A BC1 D解析：选B椭圆的右焦点为F(1，0)，所以d.3抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于()A B2C D15解析：选A令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x28x10，所以x1x22，x1x2，所以|AB|.4椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A BC D解析：选A设A(
12、x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点坐标为(x0，y0)，则axby1，axby1，两式相减得a(xx)b(yy)，即.5椭圆mx2ny21与直线xy10相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为()A BC1 D2解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mxny1，mxny1，两式相减得mxmxnyny0，即m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)，所以1，又，由得.6已知以F1(2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_解析：由题意可设椭圆方程1，联立直线与椭圆方程，由0得a.故椭圆的长轴长为2
13、a2.答案：27已知双曲线1(a0，b0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为_解析：设一个焦点为F(c，0)，其中c2a2b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，因为A(c，y0)在双曲线上，所以1.所以y0b.所以|AB|2|y0|.答案：8已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p_解析：过B作BE垂直于准线l于E，因为，所以M为AB的中点，所以|BM|AB|，又斜率为，BAE30，所以|BE|AB|，所以|BM|BE|，所以M为抛物线的焦点，所以p2.答案：29已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为
14、F(，0)，实轴长为2，经过点M(2，1)作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点(1)求双曲线C的方程；(2)求直线l的方程解：(1)由已知，得2a2，c，所以a1，b2c2a22，所以双曲线C的方程为x21.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx12k.把ykx12k代入双曲线C的方程x21，得(2k2)x22k(12k)x(12k)220，由题意可知2k20，所以xM2，解得k4.当k4时，方程可化为14x256x510.此时56256512800，方程有两个不等的实数解所以直线l的方程为y4x7.1
15、0设F1、F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10.直线l的方程为y(x2)联立得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2.即2.得a3.而a2b24，所以b.故椭圆C的方程为1.B能力提升11已知椭圆C的标准方程为1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，椭圆C上有不同
16、的两点关于直线l对称解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上关于直线l：y4xm对称的两个点，M(x，y)是它们的中点，则有所以3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.因为x1x22x，y1y22y，x1x2，所以kPQ，所以y3x.由得M(m，3m)因为点M在椭圆C的内部，所以1，所以m.所以当mb0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且3，3，求直线l和椭圆C的方程解：因为椭圆离心率为，所以，a22b22c2，所以椭圆方程为1.设l的方程为yxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得3x24mx2m22b20.16m243(2m22b2)8(m23b
17、2)0，所以3b2m2.(*)x1x2m，x1x2(m2b2)，3，所以x1x2y1y23.而y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2，所以2x1x2m(x1x2)m23，(m2b2)m2m23，所以3m24b29，又R(0，m)，3，即(x1，my1)3(x2，y2m)，从而x13x2，由得3m2b2，由解得b23，m1，适合(*)，所以所求直线l的方程为yx1或yx1；椭圆C的方程为1.13(选做题)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点(1)求C的方程；(2)若点B(1，2)在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若kBPkBQ2，求证：直线PQ过定点解：(1)当焦点在x轴时，设C的方程为y22px，代入点A(1，2)得2p4，即y24x.当焦点在y轴时，设C的方程为x22py，代入点A(1，2)得2p，即x2y.综上可知，C的方程为y24x或x2y.(2)证明：因为点B(1，2)在C上，所以曲线C的方程为y24x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ：xmyb，显然m存在，联立方程得y24my4b0，所以y1y24m，y1y24b.因为kBPkBQ2，所以2，所以2，即y1y22(y1y2)120，所以4b8m120，即b32m.直线PQ：xmybmy32m，即x3m(y2)，所以直线PQ过定点(3，2)
