1、13充分条件、必要条件与命题的四种形式13.1推出与充分条件、必要条件1.了解“推出”的含义2.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义3.掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断1充分条件和必要条件当命题“如果p，则q”经过推理证明判定是真命题时，我们就说由p成立可以推出q成立，记作pq，读作“p推出q”，又称p是q的充分条件，q是p的必要条件2充要条件如果pq，且qp，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作pqp是q的充要条件，又常说成“q当且仅当p，或p与q等价”.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)若p是q的充要条件，则命
2、题p和q是两个相互等价的命题()(3)q不是p的必要条件时，“pq”成立()答案：(1)(2)(3)2“0”是“sin 0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既是充分条件，也是必要条件D既不充分也不必要条件答案：A3已知sin 0，则“tan 0”是“为第三象限角”的()A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：C4“log3Mlog3N”是“MN”成立的_条件答案：充分不必要充分条件、必要条件、充要条件的判断判断下列各题中p是q的什么条件？(1)p：，q：cos ；(2)p：(a2)(a3)0，q：a3；(3)在ABC中，p：ab，q：sin Asin
3、B；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形【解】(1)因为cos ，cos ，所以p是q的充分不必要条件(2)由(a2)(a3)0可以推出a2或a3，不一定有a3；由a3可以推出(a2)(a3)0，因此p是q的必要不充分条件(3)因为由正弦定理，知absin Asin B，sin Asin Bab，所以p是q的充要条件(4)因为所以p是q的既不充分也不必要条件充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若pq，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，qp，则p是q的必要不充分条件；若pq，qp，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件(2)集合法对于集合Ax
4、|x满足条件p，Bx|x满足条件q，具体情况如下： 若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件(3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断 指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x21，q：x1；(3)p：ABC有三个内角相等，q：ABC是正三角形；(4)p：|ab|a
5、b，q：ab0.解：(1)因为pq，qp，所以p是q的充分不必要条件(2)因为pq，qp，所以p是q的必要不充分条件(3)因为pq，qp，即pq，所以p是q的充要条件(4)因为ab0时，|ab|ab，所以“|ab|ab”“ab0”，即pq.而当ab0时，有|ab|ab，即qp.所以p是q的必要不充分条件充要条件的证明求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.【证明】充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)因为ac0，所以方程一定有两个不等实根，设为x1，x2，则x1x20，所以方程的两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：(由方程有一正根和一负根推证a
6、c0)因为方程ax2bxc0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0.综上可知：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若x1且y1，则有xy2成立，所以pq；反之由xy2不能得到x1且y1.所以p是q的充分不必要条件2已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb
7、.又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件3用符号“”或“”填空：(1)整数a能被4整除_a的个位数为偶数；(2)ab_ac2bc2.答案：A基础达标1已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A因为A1，a，B1，2，3，若a3，则A1，3，所以AB，所以a3AB；若AB，则a2或a3，所以ABa3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件2设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的()A充分不必要条
8、件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A因为q：2x1x0，所以q：x0，p：1x2.又(1，2)(0，)，所以p是q的充分不必要条件3“a1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B由1得0a1，所以“a1”的必要不充分条件4x24的必要不充分条件是()A2x2B2x0C0x2 D1x3解析：选Ax24即2x2，因为2x2能推出2x2，而2x2不能推出2x2，所以x24的必要不充分条件是2x2.5下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3解析：选A由ab1b，从而ab1ab；
9、反之，如a4，b3.5，则43.5 43.51，故ab ab1，故A正确6“函数f(x)x22ax3在区间1，)上是增函数”是“a2”的_条件解析：因为函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为xa，所以当f(x)在1，)上为增函数时，a1，而a1a2，a0，所以正确；中，当mn时，mn不一定成立，所以不正确；中，当ab时，a3b3一定成立，但a3b3也一定能推出ab，即“a3b3”是“ab”的充要条件，所以不正确答案：8设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：因为q：axa1，p是q的充分不必要条件，所以或解得0a.答案：下列各题中，
10、p是q的什么条件？q是p的什么条件？(1)p：c0，q：抛物线yax2bxc(a0)过原点；(2)p：x1且y1，q：xy2且xy1；(3)p：0x3，q：|x1|2.解：(1)c0抛物线yax2bxc(a0)过原点；抛物线yax2bxc(a0)过原点c0.故p是q的充要条件，q是p的充要条件(2)x1且y1xy2且xy1；而xy2且xy1 x1且y1.故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件(3)0x3|x1|2，|x1|21x3 0x3.故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件10已知p：x22x30，若ax1b恒成立的实数b的取值范围解：由于p：x22x301x3，ax1
11、a1ax0)依题意，得x|1x3x|1ax0)，所以解得a2，则使ab恒成立的实数b的取值范围是b2，即(，2B能力提升11对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，下列结论正确的是()b24ac0是函数f(x)有零点的充要条件；b24ac0是函数f(x)有零点的充分条件；b24ac0是函数f(x)有零点的必要条件；b24ac0是函数f(x)没有零点的充要条件A BC D解析：选Db24ac0方程ax2bxc0(a0)有实根f(x)ax2bxc(a0)有零点，故正确若b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有实根，因此函数f(x)ax2bxc(a0)有零点，故正确函数f(x)ax2bxc(a
12、0)有零点时，方程ax2bxc0(a0)有实根，未必有b24ac0，也可能有0，故错误b24ac0方程ax2bxc0(a0)无实根函数f(x)ax2bxc(a0)无零点，故正确12下列各题中， p是q的充要条件的是_(填序号)p：m2或m6，q：yx2mxm3有两个不同的零点；p：1，q：yf(x)为偶函数；p：cos cos ，q：tan tan ；p：ABA，q：UBUA.解析：对于，q：yx2mxm3有两个不同的零点q：m24(m3)0q：m2或m6p.对于，当f(x)0时，q p.对于，若，k(kZ)，则有cos cos ，但没有tan tan ，p q.对于，p：ABAp：ABq：U
13、BUA.答案：13求关于x的方程ax22x10至少有一个负的实数根关于a的充要条件解：当a0时，x符合题意当a0时，令f(x)ax22x1，由于f(0)10，当a0时，0，若44a0，则a1，即0a1时，f(x)有两个负实数根当a0时，因为f(0)1，44a0恒成立，所以方程恒有负实数根综上所述，a1为所求14(选做题)已知集合p：A，q：Bx|xm|1，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围解：先化简集合A，由yx2x1，配方，得y.因为x，所以y.所以A.由|xm|1，解得xm1或xm1.所以Bx|xm1或xm1因为命题p是命题q的充分条件，所以AB.所以m1或m12，解得m或m3.故实数m的取值范围是3，)