1、1.3简单的逻辑联结词填一填一、逻辑联结词“且” 1一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作p且q.2关于逻辑联结词“且”(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既又”的意思，二者须同时成立(2)从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2都闭合时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮(3)从集合角度理解“且”即集合运算“交”设命题p：xA，命题q：xB，则pqxA且xBx(AB)(4)“pq”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，
2、pq是假命题二、逻辑联结词“或” 1一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作p或q.2关于逻辑联结词“或”(1)“或”的含义和日常语言中的“或者”相当是“要么要么”的意义，二者中有一个成立即可(2)从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2都断开时，灯才不会亮(3)从集合角度理解“或”即集合运算“并”设命题p：xA，命题q：xB，则pqxA或xBx(AB)(4)当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题注意：逻辑联结词中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，
3、生活用语中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”三、逻辑联结词“非” 1一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作綈p，读作非p或p的否定2若p是真命题，则綈p是假命题，若p是假命题，则綈p是真命题含有逻辑联结词的命题的真假判断如表：pqp或qp且q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真3.根据“且”、“或”的含义，“pq”的否定为“(綈p)(綈q)”，“pq”的否定为“(綈p)(綈q)”.判一判1.正方形的对角线互相平分且互相垂直()解析：这个命题是“pq”形式的命题，其中p：正方形的对角线互相平分，q：正方形的对角线互相垂直p真，q真
4、，“pq”为真，原命题为真2有一个内角为60的三角形是正三角形或直角三角形()解析：这个命题是“pq”形式的命题，其中p：有一个内角为60的三角形是正三角形，q：有一个内角为60的三角形是直角三角形p假，q假，“pq”为假，原命题为假3AAB.()解析：这个命题是“綈p”的形式，其中p：AAB.p真，“綈p”为假，原命题为假43是7或9的约数()解析：这个命题是“pq”形式的命题，其中p：3是7的约数，q：3是9的约数，p假，q真，“pq”为真，原命题为真5两非零向量平行，其所在直线平行或重合()6若p：225，q：32，则“p或q”为真，“非q”为假()解析：p命题为假命题，q命题为真命题，
5、则“p或q”为真，“非q”为假，原命题为真7若綈p与pq都是假命题，那么p假q真()解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题，又pq是假命题，所以q是假命题原命题错81或1是方程x23x20的根()解析：这个命题是“pq”的形式，其中p：1是方程x23x20的根，q：1是方程x23x20的根，因为p假，q真，则“pq”真，所以该命题是真命题.想一想1.命题结构如何判断？提示：(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断2判断命题真假的一般步骤是什么？提示：(1)明确命题的结构，即明确命题是“pq”“pq”，还是“綈
6、p”；(2)对命题p和q的真假作出判断；(3)由“pq”“pq”“綈p”的真假判断方法给出结论3命题的否定与否命题有什么区别？提示：由命题p写綈p时，只否定其结论在区分命题的否定和否命题时，需分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论思考感悟：练一练1已知命题p：对任意xR，总有|x|0；q：x1是方程x20的根，则下列命题为真命题的是()Ap綈q B綈pqC綈p綈q Dpq解析：因为命题p：“对任意xR，总有|x|0”为真命题；命题q：“x1是方程x20的根”为假命题；所以綈q为真命题，所以p綈q为真命题，故选A.答案：A2p：点P在直线y2x3上，q：点P在抛物线
7、yx2上，下面使“pq”为真命题的一个点P(x，y)是()A(0，3) B(1,2)C(1，1) D(1,1)解析：使“pq”为真命题的点P即为直线y2x3和抛物线yx2的交点，解得或故选C.答案：C3命题“28是5的倍数或是7的倍数”中使用了逻辑联结词_答案：或4命题“若xy2，则x2y22”的否定是_答案：若xy2，则x2y26或66，所以A项是pq形式的命题；B项和D项是pq形式的命题；C项不包含任何逻辑联结词故选A.答案：A3已知全集UR，AU，BU，若命题p：a(AB)，则命题“綈p”是()AaA BaUBCa(AB) Da(UA)(UB)解析：p：a(AB)，綈p：a(AB)，即a
8、U(AB)而U(AB)(UA)(UB)，故选D.答案：D4若命题綈(p(綈q)为真命题，则p，q的真假情况为()Ap真，q真 Bp真，q假Cp假，q真 Dp假，q假解析：若綈(p(綈q)为真命题，则p(綈q)是假命题，故p和綈q都是假命题，即p假q真答案：C知识点二命题的否定与否命题5.写出下列命题的否定形式和否命题(1)若abc0，则a、b、c中至少有一个为零；(2)若ab，且bc，则ac；(3)面积相等的三角形是全等三角形解析：(1)否定形式：若abc0，则a、b、c全不为零否命题：若abc0，则a、b、c全不为零(2)否定形式：若ab，且bc，则ac.否命题：若ab或bc，则ac.(3)
9、否定形式：面积相等的三角形不都是全等三角形否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形6写出下列命题的否定，并判断真假(1)p：ytan x是奇函数；(2)q：0.5是整数；(3)m：2,3都是8的约数；(4)一元二次方程至多有两个解解析：(1)綈p：ytan x不是奇函数，假命题；(2)綈q：0.5不是整数，真命题；(3)綈m：2,3不都是8的约数，真命题；(4)原命题的否定：一元二次方程至少有三个解，假命题.知识点三关于逻辑联结词的应用7.已知p：|4x|6，q：x22x1a20(a0)，若綈p是q的充分不必要条件，求a的取值范围解析：綈p：|4x|6，解得x10，或x10，或x2，q：x22
10、x1a20，解得x1a，或x1a，记Bx|x1a，或x1a由于綈p是q的充分不必要条件，所以AB，即解得0a3.故a的取值范围是(0,38已知命题p：函数f(x)2x2(4m8)x5在区间(，1)上是减函数；命题q：关于x的不等式x24mx3m0无解如果“pq”为假，“pq”为真，求m的取值范围解析：若p为真，则对称轴x2m1，即m1；若q为真，则16m24(3m)0，即4m2m30，解得1m.因为“pq”为假，“pq”为真，所以p，q一真一假若p真q假，则，得m1或m1；若q真p假，则，得m.综上，m的取值范围是(，1)基础达标一、选择题1命题“方程x21的解是x1”中，使用逻辑联结词的情况
11、是()A使用了逻辑联结词“或”B使用了逻辑联结词“且”C使用了逻辑联结词“非”D没有使用逻辑联结词解析：由x21的解为x1或x1知，命题是含有或的复合命题，其中的逻辑联结词是“或”，故选A.答案：A2若命题“p或q”为真命题，则()Ap，q均为真命题Bp，q均为假命题C非p，非q中至少有一个为假命题D非p，非q中至多有一个为假命题解析：“p或q”为真命题p、q中至少有一个为真命题，故A、B两项错误；綈p，綈q中至少有一个为假命题，故C项正确，D项错误故选C.答案：C3若p是真命题，q是假命题，则()Ap且q是真命题 Bp或q是假命题C綈p是真命题 D綈q是真命题解析：p为真，则綈p为假，C项错
12、误；p且q为假，A项错误；p或q为真，B项错误，q为假，则綈q为真，D项正确答案：D4已知命题p：任意xR,2x3x，命题q：存在xR，x31x2，则下列命题中为真命题的是()Ap且q B綈p且qCp且綈q D綈p且綈q解析：命题p：当x3x，则命题p为假命题命题q：令fx3x21，存在零点，x趋于负无穷时，函数值小于零x趋于正无穷时，函数值大于零，函数必有零点，则命题q为真命题綈p为真命题，綈p且q为真命题，p且q为假命题，綈q为假命题，p且綈q为假命题，綈p且綈q为假命题，故选B.答案：B5设a，b，c是非零向量已知命题p：若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命
13、题中真命题是()Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)解析：命题p中，取ac(1,0)，b(0,1)，显然ab0，bc0，但ac10，p是假命题命题q中，a，b，c是非零向量，由ab知axb，由bc知byc，axyc，ac，q是真命题综上可知：pq是真命题，pq是假命题又綈p为真命题，綈q为假命题，(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题答案：A6已知p：x12，q：5x6x2，则綈p是綈q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：设集合Ax|x12x|x1，Bx|5x6x2x|x2或x3，由于AB，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.答案：A7在一
14、次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p(綈q)”表示()A甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环B甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环C甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环D甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.答案：B二、填空题8已知命题p：|x2x|6，q：xN，且“pq”与“綈q”都是假命题，则x的值为_解析：由pq与綈q都是假命题，知p假q真，得，解得x3.答案：39设命题p：若ex1，则x0，命题q：若a
15、b，则1，则x0，命题p是真命题命题q：若ab，则b，但，命题q为假命题，命题pq为假命题答案：假10已知命题p：a2；命题q：对任意实数x，关于x的不等式x2a0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是_解析：若p且q为真命题，则命题p和命题q都为真命题对于命题q：对任意实数x时，x2a恒成立，又因为x20,1，所以a1 ；对于命题p：a2；综上，所以a 的取值范围为a2，即a 的取值范围为.答案：2，)11命题“若ab，则2a2b”的否命题为_，命题的否定为_解析：否命题是对条件和结论同时否定，命题的否定，只否定结论，所以“若ab，则2a2b”的否命题是“若ab，则2a2b”，命题的
16、否定是“若ab，则2a2b”答案：若ab，则2a2b若ab，则2a2b12已知命题p：0的解集为x|0x2，命题q：ab0是ab成立的充要条件有下列四个结论：“綈p且綈q”为真；“p且q”为真； “p或q”为真； “綈p或q”为真其中，正确结论的序号是_解析：由0可得：1x2，可知命题p为假若a，b中存在零向量，则ab0，此时ab不成立，可知充分性不成立；由ab可得ab0，必要性成立；即ab0是ab成立的必要不充分条件，可知命题q为假则：綈p为真，綈q为真綈p且綈q为真，正确；p且q为假，错误；p或q为假，错误；綈p或q为真，正确，则正确结论的序号为：.答案：三、解答题13分别指出下列各组命题构成的“pq”“pq”形式的命题的真假 (1)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(2)p：函数yx2x2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2x20恒成立，即mx2恒成立，又x20，所以m0.当q为真时，函数f(x)(52m)x是R上的增函数，所以有52m1，解得m2.解不等式组得0m2，所以实数m的取值范围是0m2.q：16(m2)21616(m24m3)0.解得1m3，q：0，则綈p是綈q的什么条件解析：p：|5x2|3，5x23或5x21或x0，x24x50，x1或x5，綈q：5x1，綈p綈q，但綈q綈p，故綈p是綈q的充分不必要条件