1、1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系填一填1.原命题与逆命题2原命题与否命题3原命题与逆否命题4四种命题之间的关系一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：5四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.判一判1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数是负数，则它的平方不是正数”()解析：命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”，所以错误2命题“若x2y2，则xy”的否命题是“若x2y2，则xy”(
2、)解析：只否定了结论没否定条件，命题“若x2y2，则xy”的否命题是“若x2y2，则xy”，所以错误3命题p：若a1，则a21；命题q：若a21，则a1，则命题p与q的关系是互为逆否命题()4一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()解析：一个命题的否命题和逆命题互为逆否命题有相同的真假性所以正确5原命题与逆命题之间的真假性有关系()解析：原命题与逆命题之间的真假性没有关系所以错误6“正三角形都相似”的逆命题是真命题()解析：“正三角形都相似”的逆命题是“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”，是假命题所以错误7“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题是假命题()解析：“若x2y20，则x，
3、y不全为零”的否命题是“若x2y20，则x，y全为零”是真命题所以错误8“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题是真命题()解析：原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0”因为方程x2xm0无实根，所以判别式14m0，解得m1，则x0”的否命题是_答案：若x1，则x04命题p：“若x23x20，则x2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为_解析：命题p的逆命题：若x2，则x23x20，假命题；否命题：“若x23x20，则x2”，假命题；逆否命题：“若x2，则x23x20”，真命题答案：1知识点一四种命题的概念1.命题“若aM，则bN”的逆命题是()A若aM，则
4、bN B若aM，则bNC若bN，则aM D若bN，则aM解析：因为将原命题的结论当条件，条件当结论即可得到其逆命题，所以命题“若aM，则bN”的逆命题是“若bN，则aM”，故选C.答案：C2命题“若ab，则2a2b1”的否命题为_解析：“ab”的否定是“ab”，“2a2b1”的否定是“2a2b1”答案：若ab，则2a2b1知识点二四种命题的真假3.设原命题为：“若空间两个向量a与b(b0)共线，则存在实数，使得ab”，则其逆命题、否命题、逆否命题为真的个数()A1 B2C3 D0解析：逆命题：“空间两个向量a与b(b0)，若存在实数，使得ab，则a与b(b0)共线”，正确；否命题：“若空间两个
5、向量a与b(b0)不共线，则不存在实数，使得ab”正确；逆否命题：“若不存在实数，使得ab，则两个向量a与b(b0)不共线”，正确三个命题都为真命题答案：C4分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数；(3)若ab，则ac2bc2(a，b，cR)；(4)若x2y20，则x，y全为0.解析：(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)(2)逆命题：如果一个正数不
6、是质数，那么这个正数是偶数(假命题)否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)(3)逆命题：若ac2bc2，则ab(a，b，cR)(真命题)否命题：若ab，则ac2bc2(a，b，cR)(真命题)逆否命题：若ac2bc2，则ab(a，b，cR)(假命题)(4)逆命题：若x，y全为0，则x2y20.(真命题)否命题：若x2y20，则x，y不全为0.(真命题)逆否命题：若x，y不全为0，则x2y20.(真命题)知识点三等价命题及应用5.判断命题“已知l，m为两条直线，为平面，且l，当ml时，m”的否命题的真假并简要说明理由解析
7、：原命题的逆命题：已知l，m为两条直线，为平面，且l，当m时，ml.很明显这是真命题，又因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以原命题的否命题也是真命题6证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”当ab0时，ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)1，则lg a0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为()A0 B2C3 D4解析：原命题为真，则逆否命题为真
8、；又当lg a0时，必有a1，所以逆命题为真，否命题也为真，故一共有4个命题是真命题答案：D6证明“若x2y22，则xy2”时，可以转化为证明()A若xy2，则x2y22B若xy2，则x2y22C若x2y22，则xy2D若xy2，则x2y22解析：由于原命题与逆否命题的真假性相同，所以可以转化为证明“若xy2，则x2y22”，故选B.答案：B7下列命题中为真命题的是()A命题“若x1，则x21”的逆命题B命题“若x1，则x2x20”的否命题C命题“若x20，则x1”的逆否命题D命题“若xy，则x|y|”的逆命题解析：命题“若x1，则x21”的逆命题为“若x21，则x1”，由于(2)21，20，
9、则x1”的逆否命题与原命题同真假，因为(2)20，2y，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”，因为x|y|y，所以为真命题故选D.答案：D二、填空题8命题“当事件M和N是互斥事件时，P(MN)P(M)P(N)”的否命题为_解析：同时否定原命题的条件和结论得到原命题的否命题：当事件M和N不是互斥事件时，P(MN)P(M)P(N)答案：当事件M和N不是互斥事件时，P(MN)P(M)P(N)9有下列三个命题：“若xy1，则lg xlg y0”；设mR，若方程x2xm0有实根，则m0的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆命题其中是真命题的有_解析：对于，取xy1，可知是假命题；对于，其逆否命题为
10、“设mR，若m0，则方程x2xm0没有实根”，可知是假命题；对于，其逆命题为“若AB，则ABB”，是真命题答案：10已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_解析：由已知得，若1x2成立，则m1x0时，函数yaxb的函数值随x的增大而增大”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题答案：“若p，则q”的形式：当a0时，若x增大，则函数yaxb的函数值也增大否命题：当a0时，若x不增大，则函数yaxb的函数值也不增大14分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)若一个三角形的两条边相等，则这两条边所对的角相等；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3
11、)已知a，b，c，d是实数，若ab，cd，则acbd；(4)若q1，则方程x22xq0有实根解析：(1)逆命题：若一个三角形的两个角相等，则这两个角所对的边相等显然该命题是真命题否命题：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角不相等由于原命题的逆命题是真命题，所以原命题的否命题也是真命题逆否命题：若一个三角形的两个角不相等，则这两个角所对的边不相等由于原命题为真命题，所以其逆否命题也是真命题(2)原命题：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称显然原命题是真命题逆命题：若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数显然逆命题也是真命题否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图
12、象不关于原点对称否命题是真命题逆否命题：若一个函数的图象不关于原点对称，则这个函数不是奇函数逆否命题是真命题(3)逆命题：已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab，cd.逆命题是假命题否命题：已知a，b，c，d是实数，若ab或cd，则acbd.否命题是假命题逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab或cd.因为原命题为真命题，所以逆否命题是真命题(4)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1.逆命题是假命题否命题：若q1，则方程x22xq0无实根否命题是假命题逆否命题：若方程x22xq0无实根，则q1.逆否命题是真命题.能力提升15.证明：若a24b22a10，则a2b1.证明
13、：“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”a2b1，a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210.命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确16给出命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a3”，判断其逆否命题的真假解析：原命题的逆否命题为：已知a，x为实数，若a3，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集真假判断如下：因为抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a9，若a3，则4a90，即抛物线yx2(2a1)xa22与x轴无交点所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集故原命题的逆否命题为真命题