1、选修45不等式选讲授课提示：对应学生用书第204页基础梳理1绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc3基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大
2、于或等于)它们的几何平均定理3：如果a，b，c全为正实数，那么，当且仅当abc时，等号成立4柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当adbc时成立1一组重要关系|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|，|a|b|之间的关系：(1)|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且ab0时，左边等号成立，当且仅当ab0时，右边等号成立2两个等价关系(1)|x|aaxa(a0)(2)|x|axa或xa(a0)3一个关键解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号4一个口诀解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十
3、二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”四基自测1(基础点：解绝对值不等式)不等式|x1|x1|的解集为_答案：(0，)3(基础点：绝对值不等式的意义)若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_答案：3授课提示：对应学生用书第204页考点一解绝对值不等式例(2019高考全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x
4、(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0，所以，a的取值范围是1，)破题技法含绝对值不等式的解法方法解读适合题型公式法利用公式|x|aax0)和|x|axa或x0)直接求解不等式|f(x)|g(x)或|f(x)|m(a0，b0，m0)表示数轴上点x到a的距离与到b的距离之和大于m形如|xa|xb|m的形式(2018高考全国卷)设函数(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式(x)0的解集；(2)若(x)1，求a的取值范围解析：(1)当a1时，(x)可得(x)0的解集为x|2x3(2)(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故(x
5、)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)考点二绝对值不等式的性质例(2020大庆模拟)设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式：f(x)0；(2)若f(x)3|x4|a1|对一切实数x均成立，求a的取值范围解析(1)原不等式即为|2x1|x4|0，当x4时，不等式化为12xx40，解得x5，即不等式组的解集是x|x4当4x0，解得x1，即不等式组的解集是x|4x0，解得x5，即不等式组的解集是x|x5综上，原不等式的解集为x|x5(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由题意可知|a1|9，解得8a10，
6、故所求a的取值范围是a|8a10破题技法巧用“|a|b|ab|a|b|”求最值(1)求|a|b|的范围：若ab为常数M，可利用|a|b|ab|M|a|b|M|确定范围(2)求|a|b|的最小值：若ab为常数M，可利用|a|b|ab|M|，从而确定其最小值设函数f(x)|x1|.(1)若f(x)2x2，求实数x的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(ax)(a1)，若g(x)的最小值为，求a的值解析：(1)f(x)2x2即|x1|22x或x，实数x的取值范围是.(2)a1，10，g(x)易知函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，g(x)ming1.1，解得a2.考点三不等式的证明例(2019高
7、考全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明：(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.破题技法证明不等式的方法与技巧(1)当已知与所求之间的关系较明显，从已知或不等式性质入手进行转换，可得到所求时，利用综合法(2)如果已知条
8、件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法(3)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的求解或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc1.(1)证明：(1a)(1b)(1c)8；(2)证明：.证明：(1)1a2，1b2，1c2，相乘得：(1a)(1b)(1c)88.(2)abbcac，abbc22，abac22，bcac22，相加得.