1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年天津市和平区高三高考数学第一次质检试卷（一模）一、选择题（共9小题）.1已知集合A0，1，2，Bx|x|2，C2，1，0，则（AB）C（）A0B0，1，2C2，1，0，1D2，1，0，1，22设aR，则“2a3”是“a25a60”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为；20，40），40，60），60，80），80，100若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（）A270B300C330D3604函数y在（，）的图象大致为（）A
2、BCD5设a8，blog32，clog23，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCbcaDcab6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥AB1CD1的体积为（）ABC4D67已知抛物线y28x的准线经过双曲线1（a0，b0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）Ay21Bx21C1D18设函数f（x）sin2x+cos2x，给出下列结论：f（x）的最小正周期是；f（x）在区间（，）内单调递增；将函数yf（x）的图象向左平移个单位长度，可得到函数ycos2x的图象其中所有正确结论的序号是（）ABCD9已知aR，设函数f（x），若关于x的方程f（x）
3、x+a恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（）A（，0B（，+）C（，0（，+）D（，），+）二、填空题（共6小题）.10i是虚数单位，则复数的虚部为 11在（x）5的展开式中，x2的系数是 12已知直线l：x+y20与圆C：（x1）2+y21相交于A，B两点，则线段AB的长度为 13甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是 14已知a0，b0，则的最小值为 15如图，四边形ABCD中，ABCD，AB5，CD2，BC，0，M，N分别是线段AB，AD上的点，且|+|2
4、，则的最大值为 三、解答题：本大题共5题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2，c2，B（）求a的值；（）求sinA；（）求sin（B+2A）的值17如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知侧棱AA1底面ABCD，侧面ABB1A1是正方形，AB1与A1B交于点O，ABBC，ABCD，AB2，BCCD1（）求证：AD平面COC1；（）求直线OC1与平面AB1C所成角的正弦值；（）若点P在线段A1D1上，且A1PA1D1，求二面角CAB1P的正弦值18已知椭圆C：1（ab0）的右焦点为F（1，0），离心率为（）求椭圆C的方
5、程；（）设经过点F的直线l不与坐标轴垂直，直线l与椭圆C相交于点A，B，且线段AB的中点为M，经过坐标原点O作射线OM与椭圆C交于点N，若四边形OANB为平行四边形，求直线l的方程19已知等比数列an的前n项和为Sn，bn是等差数列，S20，b1a11，b3+a25，2b5b4+3b2（）求an和bn的通项公式；（）设bn的前n项和为Tn，cn，nN*（）当n是奇数时，求cn+cn+1的最大值；（）求证：ci120（16分）已知函数f（x）axlnx，aR（）当a1时，直线l与yf（x）相切于点（e，f（e），（）求f（x）的极值，并写出直线l的方程；（）若对任意的xe都有f（x）e，m0，求
6、m的最大值；（）若函数g（x）f（x）+x2有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2e2参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A0，1，2，Bx|x|2，C2，1，0，则（AB）C（）A0B0，1，2C2，1，0，1D2，1，0，1，2解：A0，1，2，Bx|2x2，C2，1，0，AB0，1，（AB）C2，1，0，1故选：C2设aR，则“2a3”是“a25a60”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由a25a60，可得1a6，由2a3可推出1a6，由1a6不能够推出2a3，所以aR，“2a3”是“a25a6
7、0”的充分不必要条件故选：A3某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为；20，40），40，60），60，80），80，100若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（）A270B300C330D360解：由频率分布直方图可知，低于60分的频率为（0.005+0.01）200.3，因为低于60分的人数是90，所以该年级的学生人数是故选：B4函数y在（，）的图象大致为（）ABCD解：根据题意，设f（x），在区间（，），有x，其定义域关于原点对称，有f（x）f（x），则函数f（x）为奇函数，排除AC，又有f（0）0，排除B，故选：D5设a8，blo
8、g32，clog23，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCbcaDcab解：a822，0log31blog32log331，1log22clog23log242，a，b，c的大小关系为bca故选：C6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥AB1CD1的体积为（）ABC4D6解：如图，由图可知，三棱锥AB1CD1是棱长为2的正四面体D1AB1C，设D1 在底面的射影为O，可得AOD1O三棱锥AB1CD1的体积为V22故选：B7已知抛物线y28x的准线经过双曲线1（a0，b0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）Ay21Bx21C1D1解：抛物线
9、y28x的准线x2经过双曲线1（a0，b0）的一个焦点（2，0），双曲线的两条渐近线相互垂直，可知ab，所以ca，所以a，所以1故选：D8设函数f（x）sin2x+cos2x，给出下列结论：f（x）的最小正周期是；f（x）在区间（，）内单调递增；将函数yf（x）的图象向左平移个单位长度，可得到函数ycos2x的图象其中所有正确结论的序号是（）ABCD解：函数f（x）sin2x+cos2xsin（2x+），f（x）的最小正周期是T，所以正确；当时，解得x时，函数是增函数，所以f（x）在区间（，）内单调递增，所以正确将函数yf（x）的图象向左平移个单位长度，可得到函数ysin（2x+）cos（2x
10、+）的图象所以不正确；故选：A9已知aR，设函数f（x），若关于x的方程f（x）x+a恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（）A（，0B（，+）C（，0（，+）D（，），+）解：当x1时，令lnx+1+a，则lnx+1a0，因为lnx+为增函数，所以当该方程在x1时无实数根时，所以a，a时，x1时有一个解，所以x1时，x有一个解，当x1时，x2+（）x+a是递减的，1+，所以x1时有一个解，所以a成立，时，lnx+1x+a在x1时无解，但x在x1时有两个解，所以a时成立，a时，lnx+1在x1时无解，x1时，x，所以x，该方程要在x1时有2个解，所以a或a，因为a，所以a，且x1时，1+
11、，所以a，所以a，综上，a的范围为（），故选：D二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分10i是虚数单位，则复数的虚部为解：复数的虚部为故答案为：11在（x）5的展开式中，x2的系数是15解：展开式的通项为TC，令53r2，解得r1，所以x2的系数为C15，故答案为：1512已知直线l：x+y20与圆C：（x1）2+y21相交于A，B两点，则线段AB的长度为解：根据题意，圆C：（x1）2+y21，其圆心为（1，0），半径r1，圆心（1，0）到直线x+y20的距离d，则|AB|22，故答案为：13甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假
12、设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是解：甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的对立事件是两人同时没有命中，甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是：P1（1）（1）故答案为：14已知a0，b0，则的最小值为2解：因为a0，b0，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为2故答案为：215如图，四边形ABCD中，ABCD，AB5，CD2，BC，0，M，N分别是线段AB，AD上的点，且|+|2，则的最大值为解：设AC，BD的交点为O，根
13、据ABCD，AB5，CD2，可设OC2x，OA5x；OD2y，OB5y，则由ACBD得：OC2+OD2CD2，OC2+OB2BC2，即（2x）2+（2y）24，（2x）2+（5y）213联立可得：，故16，故AD4又所以在ABD中，由余弦定理得：再设，则，（0x2）所以x（2x）cosBAD，显然，当x1时，的最大值为故答案为：三、解答题：本大题共5题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2，c2，B（）求a的值；（）求sinA；（）求sin（B+2A）的值解：（）因为b2，c2，B，由余弦定理b2a2+c22accosB，可
14、得28a2+42，可得a22a240，解得a6，或4（舍去），即a的值为6（）由正弦定理，可得sinA（）因为cosA，所以sin2A2sinAcosA2（），cos2A2cos2A121，sin（B+2A）sinBcos2A+cosBsin2A（）+（）17如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知侧棱AA1底面ABCD，侧面ABB1A1是正方形，AB1与A1B交于点O，ABBC，ABCD，AB2，BCCD1（）求证：AD平面COC1；（）求直线OC1与平面AB1C所成角的正弦值；（）若点P在线段A1D1上，且A1PA1D1，求二面角CAB1P的正弦值【解答】（）证明：分别取线段AB，C
15、C1的中点E，F，连结CE，OE，OF，则AECD，AECD，OEAA1CF，OEAA1CF，所以四边形AECD和四边形OECF均为平行四边形，所以ADCEOF，又AD平面COC1，OF平面COC1，所以AD平面COC1；（）解：建立空间直角坐标系如图所示，则A（2，0，0），C（0，0，1），B1（0，2，0），C1（0，2，1），O（1，1，0），所以，设平面AB1C的法向量为，则有，令x1，则y1，z2，故，所以，所以直线OC1与平面AB1C所成角的正弦值为；（）解：根据题意可得，A1（2，2，0），D1（1，2，1），设P（x0，y0，z0），则，因为A1PA1D1，所以，所以，故，设
16、平面AB1P的法向量为，则有，令a1，则b1，c2，故，所以，所以，故二面角CAB1P的正弦值为18已知椭圆C：1（ab0）的右焦点为F（1，0），离心率为（）求椭圆C的方程；（）设经过点F的直线l不与坐标轴垂直，直线l与椭圆C相交于点A，B，且线段AB的中点为M，经过坐标原点O作射线OM与椭圆C交于点N，若四边形OANB为平行四边形，求直线l的方程解：（）由已知可得，解得a，b1，所以椭圆的方程为；（）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程，消去y整理可得：（1+2k2）x24k2x+2k220，则x
17、，所以x，所以点M的坐标为（），在平行四边形OANB中，有，设点N的坐标为（x3，y3），所以点N的坐标为（），又因为点N在椭圆上，所以，解得k，所以直线l的方程为y或y19已知等比数列an的前n项和为Sn，bn是等差数列，S20，b1a11，b3+a25，2b5b4+3b2（）求an和bn的通项公式；（）设bn的前n项和为Tn，cn，nN*（）当n是奇数时，求cn+cn+1的最大值；（）求证：ci1解：（）b1a11，b3+a25，2b5b4+3b2，可得b3b1+a1+a24，因为S2a1+a20，所以b3b14，设bn的公差为d，则2d4，即d2，代入可得b5b4+b5b22b2，所以b
18、24，b12，所以bn2+2（n1）2n；由可得a11，a21，等比数列an的公比为1，an（1）n+1（nN*），（）（）Tnn（n+1），当n为奇数时，cn+cn+1+，由cn+cn+1，递减，所以当n1时，cn+cn+1的最大值为；（）证明：cic1+c2+c2n1+11即ci120（16分）已知函数f（x）axlnx，aR（）当a1时，直线l与yf（x）相切于点（e，f（e），（）求f（x）的极值，并写出直线l的方程；（）若对任意的xe都有f（x）e，m0，求m的最大值；（）若函数g（x）f（x）+x2有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2e2解：（）（i）a1时，f（x）x
19、lnx，f（x）lnx+1（x0），令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0x，故f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，故f（x）的极小值是f（）ln，没有极大值，又f（）ln，f（）ln+1，故直线l的方程为y（x），即5x3y30；（ii）对任意xe都有f（x）eln，即f（x）f（）恒成立，由m0，故0，故1，由（i）知f（x）在（，+）单调递增，故x，可得lnx，即xlnxm，当xe时，f（x）的最小值是f（e）e，故m的最大值是e；（）证明：要证x1x2e2，只需证明ln（x1x2）2即可，由题意x1，x2是方程axlnx+x20的两个不相等的实数根，x0，消去a，整理得：ln（x1x2）ln，不妨设x1x2，令t，则t1，故只需证明当t1时，lnt2，即证明lnt，设h（t）lnt，则h（t）20，于是h（t）在（1，+）单调递增，从而h（t）h（1）0，故lnt，故x1x2e2- 17 - 版权所有高考资源网