1、3.2 古典概型 3.2.1 古典概型 【知识提炼】1.基本事件(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最 简单的_事件称为该次试验的基本事件，试验中其他的事件(除不 可能事件)都可以用_来表示.(2)特点：一是任何两个基本事件是_的；二是任何事件(除不可 能事件)都可以表示成基本事件的_.随机基本事件互斥和2.古典概型(1)定义：古典概型满足的条件：试验中所有可能出现的基本事件只有_个；每个基本事件出现的可能性_.(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为 P(A)=.A包含的基本事件的个数基本事件的总数有限相等【即时小测】1.思考下列问题：(1)若一次试验的结果所
2、包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗?提示：不是.还必须满足每个基本事件出现的可能性相等.(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗?提示：不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件.2.从集合1，2，3，4中任取两个元素，可能的结果数为()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选D.从集合1，2，3，4中任取两个元素，则可能的结果为：1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，共6个.3.若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本外文书的概率为()【解析】选D.抽到的外文书，可能是英文书或日文书，所以
3、1321A B C D51052321P.101024.从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字中含有2为事件A，则 P(A)=.【解析】从1，2，3中任取两个数字有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个基本事件；事件A包含(1，2)，(2，3)，共2个基本事件，则 P(A)=答案：2.3235.把分别写有“灰”“太”“狼”的三张卡片随意排成一排，则能 使卡片排成的顺序从左向右或从右向左可以念为“灰太狼”的概率 是 .(用分数表示)【解析】三张卡片随意排成一排的结果有：灰太狼，灰狼太，太狼 灰，太灰狼，狼太灰，狼灰太，共6种，则能使卡片排成的顺序从左 向右或从右向左可以念为“灰太狼”的概率
4、是 答案：21.6313【知识探究】知识点1 基本事件 观察图形，回答下列问题：问题1：掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果?在一次试验中，会同时出现“1点”与“2点”吗?问题2：一次试验能产生多少个基本事件?【总结提升】对基本事件的三点认识(1)不可分性.基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他的事件可以包含基本事件.(2)有限性.所有的基本事件都是有限的.(3)等可能性.每一个基本事件的发生都是等可能的.知识点2 古典概型 观察图形，回答下列问题：问题1：图1中，向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的你认为这是古典概型吗?问题2：图2中某同学
5、随机地向一靶心进行射击，试验的结果有：“命中10环”“命中9环”“命中8环”“命中7环”“命中6环”“命中5环”和“不中环”.你认为这是古典概型吗?为什么?问题3：若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件?【总结提升】1.古典概型的判断方法(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型.(2)等可能性：其次考察基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型.只有同时具备了上述两个特征，试验才是古典概型.2.从集合的观点看古典概型 若一个随机试验的数学模型是古典概型，意味着试验的基本事件只有有限个，用e1，e2，e
6、n表示这有限个基本事件，显然有限个基本事件能构成一个有限集，记为，即=e1，e2，en.由于任何一个事件A都可以用基本事件表示，这说明A，当A=时，A是不可能事件，当A=时是必然事件.另外P(e1)=P(e2)=P(en)，即每一个试验结果(基本事件)出现的可能性相同.【题型探究】类型一 基本事件的计数问题【典例】1.袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的基本事件数是 .2.将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件?(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件?【解题探究】1.典例1中“有放回”的意思是什么?提示：“有放回”表示每次抽取时，袋中总是两个球.2
7、.典例2中，求基本事件有哪些种方法?提示：列举法、列表法、树状图法.【解析】1.所有的基本事件有(红红红)、(红红白)、(红白红)、(白红红)、(红白白)、(白红白)、(白白红)、(白白白)，共8个.答案：8 2.方法一(列举法)：(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4
8、)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).共36个基本事件.(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).方法二(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应.(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出).方法三(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所
9、有可能结果用树状图表示.如图所示：(1)由图知，共36个基本事件.(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“”标出).【方法技巧】基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法.(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目
10、.【变式训练】1.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件不是基本事件的是()A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8【解析】选D.由基本事件的定义知，选项A，B，C都是基本事件，D中包含取出标号为1和7，3和5两个基本事件，所以D不是基本事件.2.先后抛掷3枚均匀的壹分，贰分，伍分硬币.(1)求试验的基本事件数.(2)求出现“2枚正面，1枚反面”的基本事件数.【解析】(1)因为抛掷壹分，贰分，伍分硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种.可列表如下：所以试验基
11、本事件数为8.硬币种类 壹分 贰分 伍分 试验结果(共8种)正面 正面 正面 正面 反面 反面 正面 正面 反面 正面 反面 正面 反面 正面 正面 反面 反面 反面 反面 正面 反面 反面 反面 正面(2)从上面表格知，出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).所以“2枚正面，1枚反面”的基本事件数为3.类型二 古典概型的概率计算【典例】1.从集合A=1，2，3，4中一次随机抽取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是()1112A.B.C.D.43232.2015年6月1日是第66个儿童节，光明幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子布
12、置联欢会的会场，每排三个小凳子，并且任何两排不能完全相同.求：(1)假设所需的小凳子足够多，那么，根据要求一共能布置多少排小凳子?(2)每排的小凳子颜色都相同的概率.【解题探究】1.典例1中一个数是另一个数的2倍可能的结果是什么?提示：其中一个数是另一个数的2倍的所有可能的结果有(1，2)，(2，4)2.典例2中，利用什么方法列举基本事件较好?提示：利用列表法.【解析】1.选B.从1，2，3，4这四个数中一次抽取两个数，所有可能 的取法有6种，满足“其中一个数是另一个数的2倍”所有可能的结果 有(1，2)，(2，4)共2种取法，所以其中一个数是另一个数的2倍的 概率是 21.632.(1)所有
13、可能的基本事件共有27个，如下表所示：所以一共能布置27排小凳子.(2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A，由上表可知，事件A的 基本事件有13=3个，故P(A)=31.279【延伸探究】若典例2中条件不变，那么每排的小凳子颜色都不同的 概率是多少?【解析】设“每排的小凳子颜色都不同”为事件B，由上表可知，事 件B的基本事件有23=6个，故P(B)=62.279【方法技巧】求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型.(2)算出基本事件的总数n.(3)算出事件A中包含的基本事件个数m.(4)算出事件A的概率，即P(A)=在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等
14、可能的，在这一点上比较容易出错.m.n【变式训练】某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的2所学校均为小学的概率.【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.(2)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学 分别记为A4，A5，1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，
15、A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种.从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结 果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)=31.155类型三 较复杂的古典概型概率计算问题【典例】1.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，这四人恰好都坐在自己的席位上的概率为 .2.袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的
16、概率：(1)A：取出的两球都是白球.(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球.【解题探究】1.典例1中，利用什么方法列举基本事件较好?提示：利用树状图法列举基本事件.2.典例2中，为了更好地区分白球和红球可采用什么方法?提示：可以将4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.【解析】1.将A，B，C，D四位贵宾就座情况用树状图表示出来：如图所示，本题中的等可能基本事件共有24个.设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个 基本事件，所以P(A)=答案：1.241242.设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法
17、为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个.(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).所以取出的两个小球全是白球的概率为P(A)=62.155(2)从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，
18、6)，共8种.所以取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)=8.15【延伸探究】若典例1中条件不变，那么这四人恰好都没坐在自己的 席位上的概率是多少?【解析】设事件B为“这四个人恰好都没坐在自己的席位上”，则事 件B包含9个基本事件，所以P(B)=93.248【方法技巧】解决复杂的古典概型问题的两个关注点(1)关注点一：计算基本事件总数要准确.对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型的关键.(2)关注点二：重视知识迁移.知识交汇型的古典概型问题，一般一个题目往往包含多个知识点，所以解题时要深刻理解该问题所涉及的其他数学知识，在解决这个
19、数学问题的基础上结合古典概型的计算公式进行.【变式训练】先后抛掷两枚大小相同的骰子.(1)求点数之和出现7点的概率.(2)求出现两个4点的概率.(3)求点数之和能被3整除的概率.【解析】如图所示，从图中容易看出，共有36种结果.(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的 基本事件共6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6).故P(A)=(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本 事件只有1个，即(4，4).故P(B)=(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12 个：(1，2)，(2，1)
20、，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6).故P(C)=61.3661.36121.363规范解答 古典概型的应用【典例】(12分)(2015南京高一检测)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率.(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【审题指导】(1)要求2名老师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解.(2)要求选出的2名
21、教师来自同一学校的概率，应先求出2名教师来自同一学校的基本事件.【规范解答】(1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示.1分 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.3分 从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，5分 所以选出的2名教师性别相同的概率为 6分 4P.9(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A
22、，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.8分 从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，10分 所以选出的2名教师来自同一 学校的概率为 12分 62P.155【题后悟道】1.加强分类讨论的意识 在写基本事件的所有结果时，如果涉及因素较多且有不同特征时，要注意分类讨论思想在解题中的应用，以免基本事件发生重复或遗漏.2.常用技巧的应用(1)对一些较为简单、基本事件个数不是太难的概率问题，求解时，一般需要用列举法计算一些随机事件所含的基本事件的概率.(2)对于稍微复杂的问题，可采用树状图法，一次写出所有基本事件，如本例直接采用列举法即可.3.注意答题的规范性 在解答概率问题的解答题时，必须写出必要的文字说明，否则会扣掉不必要的分数.如本例若没有按要求列出基本事件，致使丢了不该丢的分.