1、专题二十六 平面向量的数量积及平面向量的应用【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【热点题型】题型一 平面向量的数量积例1、已知向量a，b，满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.【提分秘籍】 1两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，
2、使其起点相同，再观察夹角2两向量的夹角为锐角cos 0且cos 1.3向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零【举一反三】已知向量a，b的夹角为120，且|a|1，|b|2，则向量ab在向量ab方向上的投影是_【热点题型】题型二 数量积的性质及运算律例2、如图，在平面四边形ABCD中，若AB2，CD1，则()()()A5 B0C3 D5【提分秘籍】 1在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1.2实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac
3、(a0)，则不一定得到bc.3实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线【热点题型】题型三 平面向量数量积的有关结论例3、已知向量a和b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|ab|()A. B2 C. D4【提分秘籍】在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0成立实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.【举一反三】若向量a，b满足|a|1，
4、|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.【热点题型】题型四 平面向量的夹角与模例4、(1)平面向量a与b的夹角为60， |a|2，|b|1，则|a2b|()A. B2 C4 D10(2)(2013年高考江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的投影为_【提分秘籍】 1当ab是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系2利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)则|a| .【
5、举一反三】已知a，b都是单位向量，且|ab|1，则a，b的夹角的取值范围是_答案：【热点题型】题型五 数量积研究垂直问题及应用例5、已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0或且17设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，点P(x，y)在ysin x的图象上运动Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf (x)的值域是_8已知向量e1，e2，则e1e2_.9已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.10在ABC中，若A120，1，则|的最小值是_11设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求证：ab.
