1、2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？第24届国际数学家大会 会标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像 一个风车，代表中国人民 热情好客 1.学会推导并掌握基本不等式;(重点）2.理解这个基本不等式的几何意义;3.并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.逻辑推理、数学运算：用重要不等式、基本不等式求最值，培养逻辑推理与
2、数学运算的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？B A C D E F G H 微课1 探究基本不等式 B A C D E F G H 则正方形ABCD的面积 是_，这4个直角三角形的面积之和是_，设AE=a,BE=b,a2+b2 2ab 222.abab即S4S正方形ABCD直角三角形，a22abb 222.2abab成立吗？当且仅当a=b时，等号成立，222abab即成立.提示:222,abab一般地，对于任意实数a，b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立.3.你能给出它的证明吗？为证22222因a+b-2a
3、b=(a-b)0,所以a+b明：2ab.【提升总结】(0,0).2abababa 0,b 0,如果a特别地，我们用 b,a b,.2abab,分别代替 可得 4.你能用不等式的性质直接推导吗？通常我们把上式写作 2abab证明：要证 只要证.ab要证，只要证0ab要证，只要证2()0显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.2 abab2 ab基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；（2）当且仅当a=b时取等号.(0,0).2ababab【提升总结】D A B C E 如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=,半径为
4、.ab2ab2ACDDCB,CDAC CB,CDab.因为所以即CD小于或等于圆的半径.2abab用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦.可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2abab基本不等式 (0,0)2ababab1.基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2b22ab，当且仅当时，等号成立(2)基本不等式形式：成立的前提条件：；等号成立的条件：当且仅当时取等号ababab2；a0，b0ab【即时练习】1122aRaaaa2.判断下列推理是
5、否正确：(1).若，则由得(1)101(1)22xxxxx(2).若，则由得 0a 1的最小值是2aa1(1)2的最大值是xx和定积最大 例 已知 a0,b0,a+b=1,求证：11(1)(1)9.ab【解题关键】由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？微课2 利用基本不等式证明简单的不等式,从证由a+b=12 ab11得ab,而4.4ab11111a+b1(1+)(1+)=1+=1+ababababab2=1+：ab明9.当且仅当 时取等号.12ab已知 a、b、c 都是正数，求证（ab）（
6、bc）（ca）abc【解题关键】对于此类题目，选择定理：2abab（a0，b0）灵活变形，可求得结果.【解析】a，b，c 都是正数ab2 ab 0，bc2bc 0，ca2ac 0（ab）（bc）（ca）2ab 2 bc 2ac abc即（ab）（bc）（ca）abc.【变式练习】由公式 可以引申出的常用结论：22xyabxy x,yRab(a0,b0)22和 ba12 ababba22 abab，同号；，异号；222222abab3ab(a0b0)1122ababab(ab()a0b0)22，或，【规律总结】配凑法:根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件 构造法:通过不等式的放缩将所给等量关系
7、变为不等式 函数法:用代换法转化为函数问题再求函数的最大(小)值 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 重要不等式 基本不等式（1）应用基本不等式时，注意一正二定三相等的条件（2）注意分析给定不等式，变形、组合、添加系数的目的是使之能够出现定值 逻辑推理、数学运算：用重要不等式、基本不等式求最值，培养逻辑推理与数学运算的核心素养 1.若直线1xyab(a0,b0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选 C.因为直线过点(1,1),所以111ab，所以11()()1 12babaabab ababab ,因为0,0ab，所以 2224babaab
8、ab,当且仅当“a=b=2”时等号成立.C 2若 x0，y0，且 xy4，则下列不等式中恒成立的是()A.1xy14B.1x1y1C.xy2 D.1xy1【解析】选 B.若 x0，y0，由 xy4，得xy4 1，1x1y14(xy)1x1y142yxxy 14(22)1.B 3.(2020天津高考)已知 a0,b0,且 ab=1,则+的最小值为 .【解析】因为 a0,b0,所以 a+b0,又 ab=1,所以+=+=+2+=4,当且仅当 a+b=4 时取等号,结合 ab=1,解得 a=2-,b=2+,或 a=2+,b=2-时,等号成立.答案:44.(2017山东高考)若直线xa+yb=1(a0,
9、b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 .【解题关键】本题考查应用基本不等式求最小值,意在考查考生的转化与化归、分析问题、解决问题的能力.【解析】因为直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),所以1a+2b=1,所以 2a+b=(2a+b)12ab=4+4ab+ba 4+24a bba=8,当且仅当4ab=ba,即 a=2,b=4 时等号成立.答案：88 5设a，bR，a3b，则2a2b的最小值是_【解析】2a2b2 2a2b2 2ab2 234 2 答案：4 2 4 26.设()ln,0f xxab，若()pfab，()2abqf，1()()2rf af b，则下列关系式中正确
10、的是（）AqrpBqrpCprqDprqC【解析】选 C.()lnpfabab，()ln22ababqf，11()()lnln22rf af babab，函数()lnf xx 在0,上单调递增，因为2abab，所以()()2abffab，所以 qp=r，7设,a b 均为正数，证明不等式：ab211ab.证明：因,a b 均为正数，由基本不等式，可知 1112abab,也即abba112，当且仅当 ab时，等号成立 8求证：ab22a2b22.证明：ab22a2b22ab4a2b2a2b24a2b22(当且仅当 ab 时“”成立)在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。郁达夫