1、一圆周角定理1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系2圆心角定理(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等(2)圆心角(AOB)与它所对的弧()的度数相等，不能写成AOB，正确写法是AOB的度数的度数3圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立(2)相
2、等的弧与相同度数的弧含义是不同的只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定有相同的度数，而有相同度数的弧不一定是等弧(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，应用推论时要时刻记住这一点(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径与圆周角定理相关的证明已知：如图，ABC内接于O，D，E在BC边上，且BDCE，12.求证：ABAC.证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明如图，延长AD，AE分别交O于F，G两点，连接BF，CG，12，BFCG，FBDGCE.又BDCE，BFDCGE，FG，ABAC.
3、利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件1已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径求证：BAEDAC.证明：连接BE，因为AE为直径，所以ABE90.因为AD是ABC的高，所以ADC90.所以ADCABE.因为EC，BAE90E，DAC90C.所以BAEDAC.2已知O中，ABAC，D是BC延长线上一点，AD交O于点E.求证：AB2ADAE.证明：如图，ABAC，.ABDAEB.在ABE与ADB中，BAEDAB，AEBABD，ABEADB.，即AB2ADAE.利用圆周角进行计算如图，已知BC为半O的直径，A
4、DBC，垂足为D，BF交AD于点E，且AEBE.(1)求证：；(2)如果sin FBC，AB4，求AD的长BC为半O的直径，连接AC，构造RtABC.(1)证明：如图，连接AC.BC是O的直径，BAC90，又ADBC，垂足为D，BADACB.在AEB中，AEBE，ABEBAE.ABFACB，即.(2)设DE3x，ADBC，sinFBC，BE5x，BD4x.AEBE，AE5x，AD8x.在RtADB中，ADB90，AB4，(8x)2(4x)2(4)2，解得x1，AD8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解
5、三角形等来计算3.如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧A弧上一点，则cosOBC的值为()A. B.C. D.解析：选B法一：设A与x轴另一个交点为D，连接CD，如图所示因为COD90，所以CD为A的直径又因为CBO与CDO为圆弧CO所对的圆周角，所以CBOCDO.又因为C(0,5)，所以OC5.在RtCDO中，CD10，CO5，根据勾股定理得OD5.所以cosOBCcosCDO，故选B.法二：连接AO，AC，因为OC5，ACAO5，所以ACO为等边三角形，CAO60，CBOCAO30，所以cosCBOcos 30.4.已知，如图，ABC内接于O，点D是上任意一
6、点，AD与BC交于点E，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的长解：，ADBCDE.又，BADECD.ABDCED.，即.ED2.5 (cm)5.如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SADAE，求BAC的大小解：(1)证明：由已知条件可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因为ABEADC，所以，即ABACADAE.又SABACsin BAC，且SADAE，所以ABACsin BACADAE.则sin BAC1.又BAC为三角形内角，所以BAC90.课时跟踪检测(六
7、)一、选择题1如图，ABC内接于O，ODBC于D，A50，则OCD的度数是()A40B25 C50 D60解析：选A连接OB.因为A50，所以BC弦所对的圆心角BOC100，CODBOC50，OCD90COD905040.所以OCD40.2如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，BCD25，则下列结论错误的是()AAEBE BOEDE CAOD50 DD是的中点解析：选B因为CD是O的直径，弦ABCD，所以，AEBE.因为BCD25，所以AOD2BCD50，故A、C、D项结论正确，选B.3RtABC中，C90，A30，AC2，则此三角形外接圆的半径为()A. B2 C2 D4解析：选B由推论2
8、知AB为RtABC的外接圆的直径，又AB4，故外接圆半径rAB2.4如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD3，AB4，则tan BPD等于()A. B. C. D.解析：选D连接BD，则BDP90.CPDAPB，.在RtBPD中，cos BPD，tan BPD.二、填空题5如图，ABC为O的内接三角形，AB为O的直径，点D在O上，ADC68，则BAC_.解析：AB是O的直径，所以弧ACB的度数为180 ，它所对的圆周角为90，所以BAC90ABC90ADC906822.答案：226如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，
9、则AF的长为_解析：如图，连接AB，AC，由A，E为半圆周上的三等分点，得FBD30，ABD60，ACB30.由BC4，得AB2，AD，BD1，则DF，故AF.答案：7如图所示，已知O为ABC的外接圆，ABAC6，弦AE交BC于点D，若AD4，则AE_.解析：连接CE，则AECABC.又ABC中，ABAC，ABCACB，AECACB，ADCACE，AE9.答案：9三、解答题8如图，AB是O的直径，弦CDAB于点N，点M在O上，1C.(1)求证：CBMD；(2)若BC4，sin M，求O的直径解：(1)证明：因为C与M是同一弧所对的圆周角，所以CM.又1C，所以1M，所以CBMD(内错角相等，两
10、直线平行)(2)由sin M知，sin C，所以，BN4.由射影定理得：BC2BNAB，则AB6.所以O的直径为6.9.如图，已知ABC内接于圆，D为的中点，连接AD交BC于点E.求证：(1)；(2)ABACAE2EBEC.证明：(1)连接CD.13，45，ABECDE.(2)连接BD.，AEDEBEEC.AE2BEECAE2AEDEAE(AEDE)AEAD.在ABD与AEC中，D为的中点，12.又ACEACBADB，ABDAEC.，即ABACADAE由知：ABACAE2EBEC.10.如图所示，O是ABC的外接圆，BAC与ABC的平分线相交于点I，延长AI交O于点D，连接BD，DC.(1)求
11、证：BDDCDI；(2)若O的半径为10 cm，BAC120，求BCD的面积解：(1)证明：因为AI平分BAC，所以BADDAC，所以，所以BDDC.因为BI平分ABC，所以ABICBI，因为BADDAC，DBCDAC，所以BADDBC.又因为DBIDBCCBI，DIBABIBAD，所以DBIDIB，所以BDI为等腰三角形，所以BDID，所以BDDCDI.(2)当BAC120时，ABC为钝角三角形，所以圆心O在ABC外连接OB，OD，OC，则DOCBOD2BAD120，所以DBCDCB60，所以BDC为正三角形所以OB是DBC的平分线延长CO交BD于点E，则OEBD，所以BEBD.又因为OB10，所以BCBD2OBcos 3021010，所以CEBCsin 601015，所以SBCDBDCE101575.所以BCD的面积为75.