1、第八节第二课时定点、定值、探究性问题授课提示：对应学生用书第174页考点一圆锥曲线的定点问题例(2020湖南郴州二模)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点(1)若以A，B为直径的圆的方程为(x2)2(y3)216，求抛物线C的标准方程；(2)过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上解析(1)由抛物线的定义可得p68，得p2，故抛物线C的标准方程为x24y.(2)证明：由x22py得其焦点坐标为F.设A，B，直线AB：ykx，代入抛物线方程，得x22kpxp20，x1x2p2.对y求导得y，抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为
2、y(xx1)，抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为y(xx2)，由得y.l1与l2的交点P的轨迹方程是y，即l1，l2的交点在定直线上破题技法定点问题主要是由线系(直线系)过定点问题具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有
3、且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解析：(1)ABF2的周长为4a，4a8，a2.又e，c1，b2a2c2413，椭圆E的方程是1.(2)由(4k23)x28kmx4m2120，设P(x0，y0)，判别式(8km)24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230，同时有x0，y0kx0m，易得Q(4，4km)若定点M存在，则必在x轴上，因此，可设M(t，0)，由0得(4t4)t24t30.由解得t1.所以存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.考点二圆锥曲线的
4、定值问题例已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，P是C上的一个动点，且F1PF2面积的最大值为4.(1)求C的方程；(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值解析(1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c.因为SF1PF2|F1F2|y0|2cbbc，所以bc4.又e，a2b2c2，所以a4，b2，c2，所以C的方程为1.(2)证明：由(1)可知A(4，0)，B(4，0)，F1(2，0)由题意可知，x02，且x04.设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA的
5、方程为yk1(x4)，令x2，得y6k1，故M(2，6k1)直线PB的方程为yk2(x4)，令x2，得y2k2，故N(2，2k2)记以MN为直径的圆为圆D，则D(2，3k1k2)如图，F1T是圆D的一条切线，切点为T，连接F1D，DT.则|F1T|2|F1D|2|DT|2，所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2，又k1，k2，所以k1k2，由1，得y(x16)，所以k1k2，则|F1T|21612k1k2161225，所以|F1T|5.故切线长为定值5.破题技法此类问题求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式
6、关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：1，椭圆C2：x21，若M，N分别是C1，C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|2，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为ykx，则直线OM的方程为yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d，因为在RtMON中，(|OM|2|ON|2)d2|OM|2
7、|ON|2，所以，即d.综上，O到直线MN的距离是定值考点三圆锥曲线的存在性问题例已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A(0，4)的直线l与椭圆C交于M、N两点，F是椭圆C的上焦点问：是否存在直线l，使得SMAFSMNF？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)由题意知，b，且a2b2c2，解得a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)存在理由如下：由题意可知l的斜率一定存在，设l为ykx4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立(3k24)x224kx360，SMAFSMNF，M为线段AN的中点，x22x1，将代入解得x1，将代入
8、得x，将代入解得k2，将代入检验成立，k，即存在直线l：6xy40或6xy40符合题意破题技法解决存在性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采用另外的途径(2020徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解析：(1)由已知条件，直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于中8k244k220，解得k.即k的取值范围为.(2)不存在，理由如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程得，x1x2，y1y2k(x1x2)22.因为()，(，1)，所以(x1x2)()y1y20，即：()20.解得：k，由(1)知k2，与此相矛盾，所以不存在常数k使与垂直