1、试卷类型A 2011年全国普通高等学校统一招生考试数学（文史类）试卷(保温) 第卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合则 ( ) ABCD2向量，且，则锐角a的值为（ ）A. B. C. D.3函数的反函数为（ ） 4已知分别是两条不重合的直线，分别垂直于两不重合平面，有以下四个命题：若，且，则；若，且，则； 若且，则；若且，则其中真命题的序号是 （ ）A B C D 5定义在上的奇函数满足：当时，则在上方程的实根个数为 ( ) A1 B2 C3 D4 6设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n
2、等于( )( (A.6 B.7 C.8 D.9cba7.在同一平面直角坐标系中，画出三个函数，的部分图象（如图），则( )来A为，为，为 B为，为，为C为，为，为 D为，为，为8若，则直线被圆所截得的弦长为( ) A B1 C D 9已知三棱锥PABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD10若，则a，b，c的大小关系是（ ）A、 B、 C、D、11.将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，不同的分配方案共有（ ）A、12种B、24种C、36种D、48种12. 设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存
3、在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD第卷(非选择题 共90分)20080805二、填空题：(本大题共4小题，每个5分，共20分答案填在答题卡的相应位置)13椭圆焦距为，则 14设，若，则实数的值为 。15已知正三棱锥P-ABC侧棱长为1，且PA、PB、PC两两垂直，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为 16已知椭圆的右焦点为F(c,0),过F作与x轴垂直的直线与椭圆相交于点P，过点P的椭圆的切线与x轴相交于点A,则点A的坐标为 _。三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
4、17（本小题满分10分）已知函数（I）求最小正周期和单调递减区间；（II）若上恒成立，求实数m的取值范围.18（本小题满分12分）某大学对参加了该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，决定考核有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分。假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、，他们考核所得的等次相互独立。（I）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；（II）求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数的概率。ABEFCHD19（本小题满分12分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，B
5、CCF,EF=2，BE=3，CF=4.()求证：EF平面DCE；()当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为6020（本小题满分12分）在数列中，（）设，求数列的通项公式；（）求数列的前项和21、（本小题满分12分）如图，已知曲线C1：y=x3(x0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x0)交于点O、A.直线x=t(0t0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F（0，4，0）从而设平面AEF的法向量为，由得，取x=1，则，即，不妨设平面EFCB的法向量为，由条件，得解得所以当时，二面角A-EF-C的大小为60【补充练习】 四棱锥PABCD中，底面ABCD为
6、矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，BC=，E为AB的中点。 （1）证明：平面ABCD； （2）求二面角APDB的大小。【补充练习】如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，为等边三角形，面面，分别为棱的中点；（）求证：面；（）求二面角的大小。（）证明（方法一）取中点，连接，因为分别为中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以面（方法二）取中点，连接，由题可得，又因为面面，所以面，又因为菱形中，所以.可以建立如图所示的空间直角坐标系不妨设，可得，所以所以设面的一个法向量为，则，不妨取，则，所以，又因为面，所以面. (）（方法一）过点作的垂线交于，连接.因为，所以，所以面，所以为二面
7、角的平面角.因为面面，所以点在面上的射影落在上，所以，所以，不妨设，所以，同理可得所以，所以二面角的大小为（方法二）由（）方法二可得，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.又，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.所以，因为二面角为锐角，所以二面角的大小为20.解：，所以，又，故由得，所以,得：所以21. 解：（）由 题意得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.f(t)=SABD+SOBD=|BD|1-0|=|BD|=(-3t3+3t)，即f(t)=-(t3-t)，(0t1).（）f(t)=-t2+.令f(t)=0 解得t=.当0t0，从而f(t)在区间（0，）上是增函数；当t1时，f(t
8、)0，从而f(t)在区间（，1）上是减函数.所以当t=时，f(t)有最大值为f()=.22解：() 设抛物线C的方程为由，即，所以抛物线C的方程为 () 设，由得故 即 故 解构成的方程组得又由，即，所求得的适合，因此所求得的的值为 （）设，且直线PR的方程为圆内切于，由则圆心（1，0）到直线PR的距离为1，化简得同理可得由于，所以为方程的两根，当且仅当时取等号，所以的面积最小值为 【补充训练】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点（1）求椭圆的方程：（2）若点为椭圆上不同于、的任意一点，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交
9、点在直线上解：设椭圆方程为将、代入椭圆E的方程，得解得椭圆的方程 （2），设边FH上的高为， 设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6yxOFHABD所以， 当在椭圆上、下顶点时，最大为，故的最大值为，于是也随之最大值为 , 此时内切圆圆心的坐标为.（3）将直线代入椭圆的方程并整理得设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得, 直线的方程为：，它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：，,因此结论成立综上可知，直线与直线的交点在直线上 【补充训练】过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，
10、1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设由得：直线PA的方程是：即 同理，直线PB的方程是： 由得：点P的轨迹方程是（2）由（1）得： 所以故存在=1使得解法（二）：（1）直线PA、PB与抛物线相切，且直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得： 故点P的轨迹方程是（2）由（1）得：故存在=1使得【补充练习】如图，直角坐标系中，一直角三角形，、在轴上且关于原点对称， 在边上，的周长为12若一双曲线以、为焦点，且经过、两点(1) 求双曲线的方程；(2) 若一过点（为非零常数）的直线
11、与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 设双曲线的方程为，则由，得，即解之得，双曲线的方程为(2) 设在轴上存在定点，使设直线的方程为，由，得即，即把代入，得把代入并整理得其中且，即且 代入，得，化简得 当时，上式恒成立因此，在轴上存在定点，使1 如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点. （I）求证：（1）；（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，
12、满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：（I）右准线，渐近线 ， （II） 双曲线C的方程为： （III）由题意可得证明：设，点 由得 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ，得 的取值范围是（0，1）【补充练习】 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2. （I）求此双曲线的渐近线的方程； （II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（I） ，渐近线方程为 （II）设，AB的中点 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（
13、9分）（III）假设存在满足条件的直线 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在满足条件的直线.【补充练习】如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
