1、3.1.2 概率的意义【知识提炼】1.对概率的正确理解 随机事件在一次试验中发生与否是_的，但随机性中含有_，认识了这种随机性中的_，就能比较准确地预测随机事件发生的 _.随机规律性规律性可能性2.实际问题中几个实例(1)游戏的公平性：裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取 得发球权的概率均为_，所以这个规则是_的.在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是_ 的这一重要原则.0.5公平公平(2)决策中的概率思想：如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“_”可以作为决策的准则，这种判断问 题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思
2、想方法 之一.(3)天气预报的概率解释：天气预报的“降水概率”是_事件的概率，是指明了“降水”这 个随机事件发生的可能性的_.使得样本出现的可能性最大随机大小(4)试验与发现：概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传 学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接 近_，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的 统计规律.31(5)遗传机理中的统计规律：孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率 理论解释这种统计规律.利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机 性与_的关系，以及频率与_的关系.规律性概率【即时小测】1.思考下列问题：(
3、1)随机事件A的概率P(A)能反映事件A发生的确切情况吗?提示：不能，只能反映事件A发生的可能性的大小.(2)随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系?提示：随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生.2.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有()A.64个 B.640个 C.16个 D.160个【解析】选C.80(1-80%)=16.3.若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每个学生 被抽到的概率为 ，则下列解释正确的是(
4、)A.4个人中，必有1个被抽到 B.每个人被抽到的可能性都为 C.由于有被抽到与不被抽到两种情况，故不被抽到的概率为 D.以上说法都不正确【解析】选B.由概率的意义可知.1414144.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有()A.f(n)与某个常数相等 B.f(n)与某个常数的差逐渐减小 C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小 D.f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定【解析】选D.随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.5.给出下列四种说法：设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件
5、是 次品；做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面 朝上的概率是 ；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是 其中正确的有 .511009.50【解析】错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.混淆了频率与概率的区别.正确.答案：【知识探究】知识点 概率的意义 根据下列事实，回答问题：“双色球有中出两注500万头奖”，听到这个消息总让人心里痒痒的，想必谁都做过中500万的梦吧!问题1：买一张彩票一定中奖吗?问题2：概率的意义是什么?解题时应注意什么?【总结提升】利用概率的意义解题的三个关注
6、点(1)随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定.(2)在多次重复试验中，同一事件发生的频率会在某一个数值附近摆动，而试验次数越多，一般摆动幅度越小，观察到的大偏差也相对减少，频率呈现出一定的规律性.(3)频率的稳定性揭示出随机事件发生的可能性有一定的大小，事件的频率稳定在某一数值附近，这一数值就是随机事件的概率.【题型探究】类型一 事件的判断【典例】1.下列说法正确的是()A.由生物学知道生男生女的概率均为 ，一对夫妇生两个孩子，则 一定生一男一女 B.一次摸奖活动中中奖概率为 ，则摸5张票，一定有一张中奖 C.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率 是 D.在同一年出生
7、的367人中，至少有两人生日为同一天 1215372.如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出 现反面向上的概率大于 ，这种理解对吗?12【解题探究】1.典例1中概率的含义是什么?提示：概率是从数量上反映随机事件发生的可能性大小的一个数学概念，它是对大量重复试验来说存在的一种统计规律.2.典例2中在n次重复试验中，各次试验汇总出现的结果相互影响吗?提示：在n次重复试验中，各次试验汇总出现的结果都是随机的，相互之间没有影响.【解析】1.选D.A不正确，概率为 是大量试验的结果并不是两次试 验中一定有一次发生；同理B不正确；C抛硬币时出现正面的概率 是 ，不是 ，所以C不正确；D
8、因为一年最多有366天，所以同一年 出生的367人中至少有两人生日相同.故D正确.1212372.这种理解不正确.掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果 是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律性，即“正 面向上”“反面向上”的可能性都是 .连续5次正面向上这种结果是 可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反 面向上的可能性还是 ，而不会大于 .121212【方法技巧】理解概率意义应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.(2)由频率的定义我们可以知道随机事件
9、A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.【变式训练】有人告诉你，放学后送你回家的概率如下：50%.2%.90%.试将以上数据分别与下面的文字描述相配.(1)很可能送你回家，但不一定送.(2)送与不送的可能性一样多.(3)送你回家的可能性极小.【解析】概率为50%，指事件发生的可能性为50%，与(2)相配；概率为2%，指事件发生的概率较小，与(3)相配；概率为90%指事件发生的可能性很大，与(1)相配.类型二 游戏的公平性
10、【典例】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?【解题探究】典例中两班代表获胜的机会一样吗?如何判断?提示：一样.可以根据游戏规则，列出两个转盘停止后所有的情况，然后即可比较两班代表各自获胜的概率，从而对此游戏规则的公平性
11、作出判断.【解析】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的 有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1=(2)班代表获胜的概率P2=即P1=P2，机会是均等的，所以该方案 对双方是公平的.61122，61122，【延伸探究】1.(变换条件)在典例中，若把游戏规则改为：自由转动转盘A与B，转 盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么甲获 胜，否则乙获胜.游戏规则公平吗?为什么?【解析】不公平.因为出现奇数的概率为 而出现偶数的概率为 41123，82.1232.(变换条件)若典例中，转盘被平均分成10等
12、份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种：A.猜“是奇数”或“是偶数”；B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案?(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案?【解析】(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍 数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为 =0.8，超过了 0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.(2
13、)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是 奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性.810【方法技巧】游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的.(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.【补偿训练】在摸奖活动中经常用掷硬币作为活动手段，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上.你认为这种认识正确吗?【解析】我们可以做连续两次抛掷一枚硬币的一个试验，澄清这个错误认识.事实上
14、，连续两次抛掷一枚硬币仅仅是做两次重复抛掷硬币的试验，试验的结果仍然是随机的，随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性含有规律性，所以抛掷的结果也可能出现“两次都是正面”或“两次都是反面”的情况.类型三 概率的应用【典例】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数.【解题探究】典例中把鱼放回水库后，为什么要经过适当时间再捕一定数量的鱼?提示：当经过
15、适当时间，所有鱼充分混合，可保证每条鱼被捕捞的可能性一样.【解析】设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值.假定 每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A=带有记号的鱼，易知P(A)第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数m=40，由概率的统计定义可知P(A)由两式，得 解得n25000.所以，估计水库中约有鱼25000尾.2000n，40500，200040n500，【方法技巧】处理概率应用问题的技巧(1)求概率：先利用频率等方法求出事件的概率.如本题中先求出带记号的鱼的概率.(2)估计值：利用概率的稳定性，根据频率公式估计数值.
16、如本题中计算总体的数目，即求水库中鱼的尾数.【变式训练】山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2500套座椅中大约有多少套次品?【解析】设有n套次品，由概率的统计定义可知 解得n125.所以该厂所产2500套座椅中大约有125套次品.n52500100，【补偿训练】一个箱子中放置了若干个大小相同的白球和黑球，从箱中抽到白球的概率是99%，抽到黑球的概率是1%，现在随机取出一球，你估计这个球是白球还是黑球?【解题指南】利用极大似然法估计.【解析】从箱子中任取一球，所取的球是白球的概率99%比取到黑球的概率1
17、%要大得多.因此随机取出一球，取到白球的可能性比取到黑球的可能性要大，所以估计取出的球是白球.易错案例 游戏公平性的判断【典例】下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色甲胜 取出的球是黑球甲胜 取出的两个球同色甲胜 取出的两个球不同色乙胜 取出的球是白球乙胜 取出的两个球不同色乙胜 问其中不公平的游戏是()A.游戏1 B.游戏1和游戏3 C.游戏2 D.游戏3【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗?提示：错
18、误的根本原因是对试验发生的所有可能情况列举不全，从而导致结果错误.【自我矫正】选D.游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白).所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可 能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2).所以甲胜的可能性为 ，游戏是不公平的.13【防范措施】1.准确列出试验发生的所有可能情况 要列出试验发生的所有可能情况，通常使用的方法有：列举法、列表法、树状图法等，但无论采用哪种方法，都要按照一定的顺序进行，做到不重不漏，如本例，在列举游戏1和游戏3的所有情况时，可按照黑球的情况依次列出所有可能情况.2.注意挖掘隐含或限制条件 对题目中的条件要认真分析，找出一些限制或隐含条件.