1、江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学下学期5月月考试题（含解析）一、选择题.（每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题）1.设集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.2.某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则
2、样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（ ）A. 100，50B. 100，1250C. 200，50D. 200，1250【答案】D【解析】【分析】由分层抽样的概念可得样本容量为，计算出该地区高中生的人数后，乘以高中生近视率即可得该地区近视的高中生人数，即可得解.【详解】由分层抽样的概念可得样本容量为，则该地区中高中生有人，该地区近视的高中生人数为人.故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，属于基础题.3.已知是第四象限角,且,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为是第四象限角，所以 ，由于所以可得 ， ， ， ，故选D.4.设分别是中所对边边长，则直线与位置关系是（ ）
3、A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直【答案】C【解析】分别是中所对边的边长，则直线斜率为：，的斜率为：，=1，两条直线垂直故选C5.如图，已知中，为的中点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.【详解】因为，所以，.故.故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.6.设a，b，c均为正数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出的图像，由此判断出的大小关系.【详解】画出的图像如下图所示，由图可
4、知.故选：B【点睛】本小题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质，属于基础题.7.直线l与两直线y1和xy70分别交于A，B两点，若线段AB中点为M(1，1)，则直线l的斜率为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率【详解】设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，1），则直线l的方程为y+1=k（x1），联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；联立
5、直线l与xy7=0，得到，解得x=，y=，所以B（，），又线段AB的中点M（1，1），所以+=2，解得k=故选D【点睛】此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，考查学生计算能力及逻辑推理能力，属于中档题8.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ()A. B. C. 6D. 【答案】D【解析】【分析】设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，由对称点可求和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为.【详解
6、】点关于轴的对称点坐标是，设点关于直线的对称点，由，解得，故光线所经过的路程，故选D.【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.9.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选C平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，
7、把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围10.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.【详解】依题意，由正弦定理得，所以，由于三角形是锐角三
8、角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，属于基础题.11.在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（ ）A. 若，则B. 若，则可能为等腰三角形或直角三角形C. 若，则定为直角三角形D. 若且该三角形有两解，则的取值范围是【答案】ABCD【解析】【分析】结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，由正弦定理得，故A选项正确.对于B选项，由于，由于是三角形的内角，所以或，即或，所以可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确.对于C选项，由以及正弦定理得，即，所以，由于，
9、所以，所以，故定为直角三角形.故C选项正确.对于D选项，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D选项正确.故选：ABCD【点睛】本小题主要考查正弦定理边角互化，考查诱导公式以及三角恒等变换，属于中档题.12.在长方体中，底面是边长为4的正方形，则（ ）A. 异面直线与所成角的余弦值为B. 异面直线与所成角的余弦值为C. 平面D. 点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】判断出异面直线与所成角，解三角形求得线线角的余弦值，由此判断AB选项的正确性.判断出平面，由此判断C选项的正确性.利用等体积法求得点到平面的距离，由此判断D选项的正确性.【详解】依题意，由于，所以异面直线与所成角即或其补角.
10、在三角形中，所以异面直线与所成角的余弦值为.故A选项正确，B选项错误.由于平面，平面，所以平面，故C选项正确.设点到平面的距离为，由，所以，解得，故D选项正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的判断，考查点面距的求法，属于中档题.13.平面中两条直线l和n相交于O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l和n的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”.则下列说法正确的（ ）A. 若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有一个B. 若pq=0，且p+q0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个C. 若pq0，则“距离坐标”为（
11、p，q）的点有且仅有4个D. 若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线【答案】ABC【解析】【分析】根据“距离坐标”的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】首先点到直线的距离是唯一确定的.对于A选项，由于，所以表示点，有且仅有一个，故A选项正确.对于B选项，由于，且，当或时，分别表示点或，有且仅有两个，故B选项正确.对于C选项，由于和相交与，所以直线和直线确定一个平面，根据对称性可知，在平面的上方和下方，各有两个“距离坐标”为的点.故“距离坐标”为的点有且仅有个，所以C选项正确.对于D选项，设和相交与，直线和直线相交所形成的两组对角的角平分线上的点，都满足，所以点的轨迹不只是一条过点的
12、直线，所以D选项错误.由于，故选：ABC【点睛】本小题主要考查空间点与直线的位置关系，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.二、填空题(每小题4分，共16分)14.从编号为，的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_.【答案】【解析】【分析】基本事件总数，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.【详解】解：从编号为，的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：，.所以第二次抽得的卡片上
13、的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为.故答案为.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.15.若，则_【答案】【解析】【分析】，可得，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出【详解】，化为：，解得，故答案为【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】将问题转化为，根据二次函数和分式的单调性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分别讨论最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三
14、种情况，得到每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式恒成立可转化为：当时，当时，若，即时，解得：（舍）若，即时，又，当，即时，解得：（舍）当，即时，解得： 若，即时，解得：（舍）综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.17.若封闭的直三棱柱所有的顶点都在一个球面上，且满足，则该球的表面积为_；若该封闭的三棱柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为_，【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】找到直三棱柱外接球的球心
15、，计算出半径，由此计算出外接球的表面积.计算出三棱柱内最大球的半径，由此求得的最大值.【详解】由于三棱柱是直三棱柱，且，所以球心位于的中点的连线的中点处，故直三棱柱外接球的半径为，所以该球的表面积为.设直角三角形的内切圆半径为，则，解得，由于，所以该封闭的三棱柱内最大球的半径为，其体积为.故答案为：（1）；（2）【点睛】本小题主要考查几何体外接球，内切球有关计算，属于中档题.三、解答题.(共82分)18.平顶山市公安局交警支队依据中华人民共和国道路交通安全法第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚如表
16、是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份违章驾驶员人数（）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（）预测该路段月份不“礼让斑马线”违章驾驶员人数参考公式：，【答案】（）；（）人.【解析】【分析】（）计算出和，然后根据公式，求出和，得到回归直线方程；（）根据回归直线方程，代入【详解】解：（）由表中数据，计算；，所以与之间的回归直线方程为；（）时，预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，根据回归方程进行预测，属于简单题.19.新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上买菜”受追捧.某电商平
17、台在地区随机抽取了位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率分布直方图.（1）求的值；（2）从“线上买菜”消费总金额不低于元的被调研居民中，随机抽取位给予奖品，求这位“线上买菜”消费总金额均低于元的概率；（3）若地区有万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替，试根据上述频率分布直方图，估计该平台在地区拟投放的电子补贴总金额.【答案】（1）（2）（3）元【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算的值；（2）由频率分布图计算可知消费总金额在元的有4人，消费总金额在的
18、有1人，采用编号列举的方法，计算这位“线上买菜”消费总金额均低于元的概率；（3）首先计算估计地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数，并且计算小于平均水平一半的频率，并计算总金额.【详解】（1）由，得.（2）设事件为“这位线上买菜消费总金额均低于元”被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在元的有人，分别记为，被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在的有人，记为，从被抽取的居民“线上买菜”消费总金额不低于元的居民中随机抽取人进一步调研，共包含个基本事件，分别为，事件包含个基本事件，分别为，则这位线上买菜消费总金额均低于元的概率.（3）由题意，可得估计地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数为估计低于平均
19、水平一半的频率为，所以估计投放电子补贴总金额为元.【点睛】本题考査频率分布直方图、古典概型、用样本估计总体等知识点.考察了学生对统计图表的识读与计算能力，考察了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养.20.在中，角的对边分别为，且满足.（）求角的大小；（）若的面积为，求和的值.【答案】（）；（），.【解析】【分析】（）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简，即可求出角的大小；（）通过面积公式和 ，可以求出，这样用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根据同角的三角函数关系，可以求出，这样可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【详解】（）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（
20、），由余弦定理可知：,.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力.21.已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：AOB的周长为12；AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；直线方程为3x4y120（3）3x3y100【解析】【分析】（1）
21、将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标.（2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程.（3）设出直线的倾斜角，求得的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程.【详解】（1）依题意直线方程为，即，即，所以由，解得，故直线过定点.（2）依题意设直线方程为，将代入得.则，则，解得或.其中不满足，满足.所以存在直线，即满足条件.（3）由（1）知直线过定点，而若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角，所以，所以，令，由于，所以，所以，所以.则可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为.此时直线方程为，即，
22、也即.【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达处，休息后继续行驶到达山顶（1）求山的高度；（2）现山顶处有一塔从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为若点处高度为，则为何值时，视角最大？【答案】（1）；（2）当时，视角最大.【解析】【分析】（1）解法一：计算出的值，然后在中，过作，垂足为，利用锐角三角函数的定义求出，然后在中利用锐角三角函数可求出；解法二：过作于点，过作于点，计算出、，设，可得出，由勾股定理可解出的值，即可得出山高；（2）过作于，计算出和，利用两角差的正切公式可得出关
23、于的表达式，通过化简后利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立求出的值，即可得出该问题的解答.【详解】（1）法一：因为，是锐角，所以，所以，在中，过作，垂足为.因为，所以.在中，所以山的高度为；法二：过作于点，过作于点，在中，所以，所以，.设，在直角中，由于，所以因为，所以，所以山的高度为；（2）过作于，因，所以，因为在上，所以，所以，.所以，.令，所以，则.当且仅当，即时，即时取得最大值.所以，当时，视角最大.【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题，同时也考查了利用基本不等式来求角的最值，解题的关键在于建立关系式，并对代数式进行化简变形，考查运算求解能力，属于中等题.23.若函数，（1）若
24、函数为奇函数，求m的值；（2）若函数在上是增函数，求实数m的取值范围；（3）若函数在上的最小值为，求实数m的值【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）由奇函数得到，代入计算得到答案.（2）讨论，三种情况，分别计算得到答案.（3）根据（2）的讨论，分别计算函数的最小值，对比范围得到答案.【详解】（1）是奇函数，定义域为，令，得，经检验：时，（2）时，开口向上，对称轴为，在上单调递增时，开口向下，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，时，函数在和上单调递增，则上单调递减，在上不单调，不满足题意.综上所述：的取值范围是（3）由（2）可知时，在上单调递增，解得或时，在上单调递增，在上单调递减，当即时，解得：（舍）当即时，解得：，时，函数在和上单调递增，则上单调递减，当时，解得：（舍）综上所述：或【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，最值，意在考查学生的分类讨论的能力和计算能力.- 24 -