1、11.3导数的几何意义导数的几何意义如下图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3，4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线问题1：割线PPn的斜率kn是什么？提示：割线PPn的斜率kn.问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.问题4：如何求得过点P的切线PT的斜率？提示：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即kf(x0) 导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就
2、是切线PT的斜率k，即kf(x0).导数与函数图象升降的关系若函数yf(x)在xx0处的导数存在且f(x0)0(即切线的斜率大于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是上升的；若f(x0)0(即切线的斜率小于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是下降的导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.导函数对于函数f(x)x22.问题1：如何求f(x0)?提示：f(x0)li li (2x0x)2x0.问题2：若x0是一变量x，f(x)是常量吗？提示：f(x)2x，说明f(x)不是常量，而是关于x的函数导函数的定义对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0) 是一个确定的数当x变化时，f(x)
3、便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y.f(x0)与f(x)的异同区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f(x)f(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数利用导数定义求函数的导数利用导数的定义求下列函数的导数(1)y3x22x1；(2)ya(a为常数)(1)y3(xx)22(xx)1(3x22x1)(26x)x3(x)2，26x3x，yli li (26x3x)2
4、6x.(2)yaa，li li ，即y.求函数yf(x)的导数的步骤(1)求yf(xx)f(x)；(2)求；(3)计算f(x)li .利用导数的定义求函数f(x)x3x2的导数f(x)，并利用f(x)求f(1)，f(1)解：利用导数的定义，得f(x)li li li3x21，f(x)3x21，则f(1)4，f(1)4.求曲线的切线方程已知曲线yx3及其上一点P.(1)求点P处切线的斜率；(2)写出点P处的切线方程(1)yx3，yli li li lix2，y|x2224，点P处切线的斜率为4.(2)由(1)知，点P处切线斜率为4，且点P的坐标为，在点P处的切线方程是y4(x2)，即12x3y1
5、60.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)写出切线方程，即yf(x0)f(x0)(xx0)特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直接得切线方程为xx0.求曲线y在点处的切线的斜率解：因为yli li li ，所以曲线在点的切线的斜率为ky|x4.求切点坐标若曲线yx26在点P处的切线垂直于直线2xy50，求点P的坐标及切线方程设切点P的坐标为(x0，y0)，因为f(x0)li li li (2x0x)2x0，所以2x021，解得x0，所以y0x6，故点P的坐标为，切线方程为y，即8x16y950
6、.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)由点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标曲线yx33x21在点P处的切线平行于直线y9x1，则切线方程为()Ay9xBy9x26Cy9x26 Dy9x6或y9x26解析：选D(x)23x0x3x3x6x0.所以f(x0)li3x6x0，于是3x6x09，解得x03或x01，因此，点P的坐标为(3,1)或(1，3)又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y9(x3)1或y9(x1)3，即
7、y9x26或y9x6.若函数yf(x)的导函数在区间上是增函数，则函数yf(x)在区间上的图象可能是下图中的()由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线的斜率随x增大而变大，因此应选A.应会灵活运用导数的几何意义辨析曲线的凹凸性A 1本题易搞错导数的几何意义，混淆导函数的单调性与函数图象的凹凸变化间的关系而误选B或D.2导数的几何意义就是切线的斜率借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如下图，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()解析：选D从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的
8、函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出yf(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.1下列说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在解析：选C根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A、B、D错误2曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y3
9、0，那么()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在解析：选B根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f(x0)0.3已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.解析：由导数的几何意义得f(1)，由点M在切线上得f(1)12，所以f(1)f(1)3.答案：34曲线yx32在点处切线的倾斜角为_解析：因为li li x2，所以yx2，y|x11，因此倾斜角为45.答案：455已知抛物线yx24与直线yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解：(1)由得或抛物线与直线的交点坐标
10、为(2,8)或(3,13)(2)yx24，yli li li (x2x)2x，y|x24，y|x36，即在点(2,8)处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为6.在点(2,8)处的切线方程为4xy0；在点(3,13)处的切线方程为6xy50.一、选择题1若函数f(x)3x1，则f(x)等于()A0 B3xC3 D3解析：选D法一：f(x)li li li (3)3.法二：由导数的几何意义可知，f(x)为直线y3x1的斜率，f(x)3.2设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直D与x轴相交但不垂直解析：选Bf(x0)0，曲线
11、yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率为0.3在曲线yx2上切线倾斜角为的点是()A(0,0) B(2,4)C. D.解析：选Dkli li li (2xx)2x，2xtan1，x，从而y.4已知曲线yx22上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为()A30 B45C135 D165解析：选C点P在曲线yf(x)x22上，在点P处的切线斜率为kf(1)1，在点P处的切线的倾斜角为135.5已知yf(x)的图象如下图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB) D不能确定解析：选B由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点
12、B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f(xA)f(xB)二、填空题6y在点处的切线方程是_解析：先求y的导数：y， ，即y，所以y在点处的切线斜率为f4，所以切线方程是y24，即y4x4.答案：y4x47对于函数f(x)ax4，若f(1)2，则a_.解析：因为f(x0)li a，f(1)2，所以a2.答案：28已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为_解析：设P点坐标为(x0,2x4x0)，则f(x0)4x04.又f(x0)16，4x0416，x03，P点坐标为(3,30)答案：(3,30)三、解答题9已知f(x)x2，g(x)x3，求满足f(x)2g(x)的x的值解：f(x)li 2x，g(x)li 3x2.因为f(x)2g(x)，所以2x23x2，解得x或x.10已知曲线y2x2a在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标和实数a的值解：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.由y (4x2x)4x，得kf(x0)4x0.根据题意得4x08，x02.分别代入y2x2a和y8x15，解得y01，a7，故所求切点P的坐标为(2,1)，a7.