1、第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力你可知这句话的由来?英美的运输船德国的潜艇英美的护航舰数学家们运用概率论分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的概率就越大,反之编队越少,与敌人相遇的概率就越小美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口结果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25降为1,
2、大大减少了损失,保证了物资的及时供应 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.(重点)2.正确理解事件A出现的频率的意义.3.正确理解概率的概念,明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系.(难点)(1)实心铁块丢入水中,铁块浮起 探究点1:随机事件 观察下列现象:在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件.(2)水中捞到月亮 水中捞月不可能发生 (3)明天,地球还会转动 在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件.(4)人会死亡 确定事件 必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.(6)科比能投中三分吗?(5)今天购买的
3、体育彩票能中奖吗?不一定发生 随机事件 在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件.确定事件和随机事件统称为事件.一般用大写字母A,B,C表示.随机事件的注意点:要搞清楚什么是随机事件的条件和结果.事件的结果是相对于“一定条件”而言的.因此,要弄清某一随机事件,必须明确何为事件发生的条件,何为在此条件下产生的结果.【概念提升】例1 指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件:(1)“某电话机在一分钟之内,收到三次呼叫”;(2)“当 x 是实数时,x2 0”;(3)“没有水分,种子发芽”;(4)“打开中央电视台,正在播放新闻”.随机事件 必然事件 不可能事件 随机事件
4、 明确了随机事件的概念,随机事件发生的可能性又如何表示呢?【变式练习】下列事件是随机事件的是 .买一张彩票,中奖.同性电荷,互相吸引.某人开车通过6个路口都遇到红灯.若a为实数,则|a|0.探究点2:随机事件的概率及频率 物体的大小常用质量、体积等来度量,学习水平的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件,它发生的可能性的大小,我们也希望能用一个数量来反映.在数学中,用概率来度量随机事件发生的可能性大小.姓名 试验次数正面朝上的次数正面朝上的比例试验 第一步:每人各取一枚同样的硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填入下表中:思考1:如何才能获得随机事件发生的概率呢?思考2:试验结果
5、与其他同学比较,你的结果 和他们一致吗?为什么?可能不同,因为试验结果是一个随机事件,在 一次试验中可能发生也可能不发生.第二步:由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表:组次试验总次数 正面朝上的总次数 正面朝上的比例 思考3:与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例 一定一致吗?为什么?不一定,因为试验结果是不确定的.第三步:把全班试验结果统计一下,填入下表:班级试验总次数 正面朝上的总次数 正面朝上的比例 第五步:请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.“掷一枚硬币,正面朝上”在一次试验中是否发生不能确定,但随着试验次数的增加,正面朝上的比例逐渐地接近于0.5.第四步:
6、请把全班每个同学的试验中正面朝上的次数收集起来,并用条形图表示.思考4:如果同学们重复一次上面的试验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗?为什么?可能不一致.因为试验结果是不确定的.1.频数与频率 在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是 否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现 的频数,称事件A出现的比例 为事件A出现的 频率.2.频率的取值范围是什么?Annf(A)=nn0(A)1 f3.概率的定义 在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总是接近于某个常数,这时就把这个常数叫做事件A的概率 Ann抛掷次数(n)2 048 4 040 12 000 24 000 30
7、 000 72 088 正面朝上次数(m)1 061 2 048 6 019 12 012 14 984 36 124 频率(m/n)0.518 1 0.506 9 0.501 6 0.500 5 0.499 6 0.501 1 历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验,结果如下表所示:抛掷次数n 频率m/n 0.512048 40401200024000 3000072088随着试验次数的增加,正面向上的频率逐渐地接近于0.5.用频率来估计“掷一枚硬币,正面向上”的概率是0.5.【总结提升】注意以下几点:(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的 重复试验;(2)只有当频率在某个常数附近摆动
8、时,这个常 数才叫做事件A的概率;(3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似 值;(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小;(5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.因此 0P A1例2 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率.(2)
9、试估计生活垃圾投放错误的概率.1 厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002=.厨余垃圾总量400+100+100解 3:2 设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确.事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,400+240+60即P(A)约为=0.7.1 000所以P A 约为1-0.7=0.3.概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率
10、.【总结提升】某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如 下表:(1)计算表中进球的频率;(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?0.80 0.78 0.75 0.80 0.80 0.85 0.83 0.80【变式练习】进球频率 投篮次数 进球次数 8 6 10 8 15 12 20 17 30 25 40 32 50 39(1)联系:随着试验次数的增加,频率会在概率的附近摆 动,并趋于稳定.在实际问题中,若事件的概率未知,常用频率作 为它的估计值.事件A发生的频率 是不是不变的?事 件A发生的概率 是不是不变的?它们 之间有什么区别和联系?n(A)fP A频率是变化的,概率是不变的.
11、(2)区别:频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同.而概率是一个确定数,是客观存在的,与每次试验无关.1.下列事件中,随机事件的个数为()明天是阴天;方程x2+2x+5=0有两个不相等的实根;明年长江武汉段的最高水位是29.8米;一个三角形的大边对小角,小边对大角.A.1 B.2 C.3 D.4 B 2.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如表:则样本数据落在(10,40上的频率为()A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64 解:选C.由题意可知样本数据落在(10,40上的频数为:13+24+15=52.由频率=频
12、数总数,可得 520.52.100 C 3.随机事件:在n次试验中发生了m次,则()A.0mn B.0nm C.0mn D.0nm 4.下列说法正确的是()A.任何事件的概率总等于频率 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,频率一般会非常接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 C C 5.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株
13、作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;Y 51 48 45 42 频数 4(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.【解题指南】本题关键是弄懂“相近”即直线距离不超过1米的含义.解:(1)由图可知所种作物总株数为15.其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下 Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 所种作物的平均年收获量为(2)由(1)知年收获量至少为48kg的有6株,故从15 株中随机选取一株,它的
14、年收获量至少为48kg的概 率为 .461534264544825152156.6.某射击手在同一条件下进行射击,结果如表所示:射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率(1)填写表中击中靶心的频率.(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么?0.92 0.80 0.95 0.88 0.91 0.89 解:(1)(2)由于频率稳定在常数0.90,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.90.小结:概率实际上是频率的科学抽象,某事件的概率可以通过该事件的频率来估计.概 率频 率随机事件确定的试验随机的随机的估计大量的重复稳定于某常数 追赶时间的人,生活就会宠爱他;放弃时间的人,生活就会冷落他.