1、数学选修1-2第一章统计案例11回归分析的基本思想及其初步应用课上导学案【学习目标】1了解随机误差、残差、残差分析的概念；2会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果；3掌握建立回归模型的步骤；4通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法和初步应用【学习重难点】1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系2会求回归方程，掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型【知识梳理】(1)回归直线方程： x，其中：，i，i.(2)变量样本点中心：(，)，回归直线过样本点的中心(3)线性回归模型：ybxae，其中e称为随机误差，a和b是模型的未知参数，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量（4）刻画回归效
2、果的方式残差对于样本点(xi，yi)(i1,2，n)的随机误差的估计值iyii，称为相应于点(xi，yi)的残差残差图利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高残差平方和残差平方和为(yii)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好相关指数R2R21，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好【典型例题】【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生学科ABCDE数学成
3、绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解规律方法(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义【例2】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)
4、的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求线性回归方程；(2)求出R2；(3)进行残差分析 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄规律方法当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面【例3】 下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算
5、残差；(3)利用所得模型，预报x40时y的值审题指导 (1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变量x、y是否线性相关由散点图得x、y之间的回归模型(2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程【题后反思】 解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程当堂检测1.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋
6、面积/m211511080135105销售价格/万元24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格2.已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：X1416182022Y1210753求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏3.为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；(3)计算相关指数