1、2020-2021学年南开翔宇学校高一年级第一次月考数学试卷考试时间：2020年10月9日 总分：100分时长：100分钟一、选择题（共10小题，每题3分.共30分）1. 若全集为R，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据补集运算求解出，然后根据交集的概念和运算求解出的结果.【详解】因为，所以，又因为即，所以，故选：B.2. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系求解.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为“，”故选A【点睛】本题考查全称命题和特称命题的否定，属于基
2、础题.3. 对于实数，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由于不等式的基本性质，“ab”“acbc”必须有c0这一条件解：主要考查不等式的性质当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选B考点：不等式性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件4. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用集合之间的包含关系排除A，C，D，即可得出结论.详解】集合，所以选项A错误，所以选项B正确，所以选项C，D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查了元素与集合，集合与集合的关
3、系问题.属于容易题.5. 若，则下列结论中不恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将，转化为，利用不等式的基本性质判断A，B的正误，利用重要不等式判断C的正误，利用特殊值判断D的正误.【详解】因为，所以所以，即，故A，B正确.因为，所以，所以故C正确.当 时， ，故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6. 设集合，若，则实数a的值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可【详解】集合，a=2或a2=2，即a=2或，当a=2时，A=2，4，0
4、，B=2，4，此时AB=2，4，不合题意；当a=时，A=，2，0，满足题意，当a=时，A=，2，0，满足题意故选D【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键7. 已知函数（），则该函数的（ ）A. 最小值为3B. 最大值为3C. 没有最小值D. 最大值为【答案】D【解析】【分析】先由基本不等式得到，再转化得到（），最后判断选项即可.【详解】解：因为，所以，由基本不等式：，当且仅当即时，取等号.所以，即，所以（），当且仅当即时，取等号.故该函数最大值为：故选：D【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.8. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范
5、围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是故选B【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.9. 定义集合运算：.设，则集合中的所有元素之和为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分
6、析】根据定义，逐个分析的取值情况，由此得到的取值情况，从而集合可确定，则集合中所有元素的和可求.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；所以，所以中所有元素之和为，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.10. 设，且不等式恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用题设条件和基本不等式求得的最小值，即可得到，解出的取值范围即可【详解】，（当且仅当时取等号，又恒成立，解得：，故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）
7、“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）11. 若全集，集合，则MN= _.【答案】【解析】分析】化简集合，根据集合的交集运算可得解.【详解】或，所以MN=.故答案为：12. 函数，的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式可知，由此求解出函数的最大值.【详解】因，取等号时，即，所以的最大
8、值为，故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13. 若关于的不等式的解集，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系，是方程的两根，易求的值.【详解】解：显然，且是方程的两根，由韦达定理得，解得.故答案为：.【
9、点睛】考查一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系，基础题.14. 已知，若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】两集合的交集为空集，则两个集合没有公共部分，可以得到两个集合的端点的关系，从而解得实数的取值范围.【详解】当集合为时，解得.当集合不为，即时，有如下两种情况：集合中的元素都比集合中元素小，结合解得；集合中的元素都比集合中元素大，结合解得.综上所述，的取值范围为或.故答案为.【点睛】本题考查利用集合的关系求参数的值，解题时也可借助数轴来分析.15. 若不等式对恒成立，则实数m的最大值为_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为“”，将变形为，将变形式展开，利用基本不等式求解
10、出其最小值，由此确定出的最大值.【详解】因为不等式对恒成立，所以且，所以又因为，所以，所以，取等号时且，即，所以，所以，所以的最大值为，故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、解答题（共5小题，共55分）16. 已知集合，1当时，求；2若，求实数k
11、的取值范围【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）当时，写出两集合，然后利用数轴求；（2）根据条件可知，这样利用数轴转化为不等式组求解.【详解】（1）当时，则 （2） ，则 （1）当时，解得； （2）当时，由 得，即，解得 综上， 【点睛】本题重点考查集合的交并补的运算，以及利用集合的关系求参数取值范围问题，意在考查基础知识，属于基础题型.17. 已知集合.（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）时，元素为；时，元素为；（3）.【解析】【分析】（1）根据与的关系作分类讨论
12、，当时，为一元一次方程，必有一解；当时，根据进行分析求解，由此确定出的取值范围；（2）根据与的关系作分类讨论，时同（1）分析；时根据进行分析求解，并写出对应元素；（3）考虑反面：至少有两个元素，即有两个元素，根据求解出的范围，然后取补集即可得到结果.【详解】（1）当时，此时，所以不是空集，不符合，当时，若是空集，则，所以，综上可知：；（2）当时，此时，满足条件，此时中仅有一个元素，当时，所以，此时方程为，即，此时中仅有一个元素，综上可知：时，元素为；时，元素为；（3）当中至少有两个元素时，即中有两个元素，所以，所以，故当中至多只有一个元素时，.【点睛】易错点睛：分析形如的方程有几个根的时候，一
13、定要注意讨论参数的情况，不能直接认为是一元二次方程.18. 已知函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）根据不等式恒成立的意义，确定求函数的最小值，并利用配方法求得最小值，将问题转化为解关于的简单的绝对值不等式，根据绝对值的意义即可求解.【详解】(1)由得，即，所以的解集为；(2)不等式对任意恒成立，由得的最小值为，所以恒成立，即，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等
14、式的求解，属基础题，难度一般.19. 已知关于的不等式.（）若不等式的解集为，求，的值；（）求不等式的解集.【答案】（），；（）；【解析】【分析】（）的两根为或，且，根据根与系数的关系即可求出，的值；（）原不等式化为，即可求出不等式的解集【详解】解：（）不等式的解集为或，的两根为或，且，解得，；（） ，即，或原不等式解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及方程的根与不等式的解集之间的关系，属于中档题20. 已知关于的不等式.（1）求不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过因式分解得：，然后分3种情况，当，时，分别求出不等式的解集；（2）根据，列出不等式组，可确定实数的取值范围.【详解】（1），当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为.（2）由上（1），时，所以，得，所以，实数的取值范围.【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键；同时考查集合之间的包含的关系，可通过解不等式组来确定参数的取值范围，属于简单题.