1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(5,t)在抛物线y2=2px(p0)上,若点A与抛物线焦点F之间的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于()A.2B.3C.6D.122.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且PF1+PF2=10,那么椭圆C的短轴长是()A.6B.7C.8D.93.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)和双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则P
2、F1PF2的值是()A.a-mB.12(a2-m)C.a2-mD.a2-m24.已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足PA-PB=2,且P为函数y=34-x2图象上的点,则满足题意的点P的个数为()A.0B.1C.2D.45.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长为42,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p=()A.4B.3C.2D.16.设双曲线x216-y212=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则AF2+BF2的最小值为()A.20B.
3、21C.22D.237.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,C是点A关于原点的对称点,若CFAB,CF=AB,则椭圆的离心率e为()A.3-1B.2-3C.6-3D.638.设A、B分别是双曲线x2-y23=1的左、右顶点,设过P12,t的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且SQ=2QT,则BST的面积为()A.91635B.3417C.3815D.32二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3
4、分,有选错的得0分)9.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,且短轴长为2,离心率为63,过焦点F1作y轴的垂线,交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是()A.椭圆方程为y23+x2=1B.椭圆方程为x23+y2=1C.PQ=233D.PF2Q的周长为4310.设抛物线y=ax2(a0)的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则()A.点P的坐标为0,-14aB.直线AB的方程为y=14aC.PAPBD.AB=12a11.已知F1、F2是双曲线C:y22-x2=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下
5、列说法正确的有()A.双曲线C的渐近线方程为y=2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为2D.MF1F2的面积为312.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴交于点M,点P,Q是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是()A.若直线PQ过焦点F,则以线段PQ为直径的圆与准线l相切B.过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多两条C.对于抛物线内的一点T(1,1),有PT+PF3D.若直线PQ垂直于x轴,则直线PM与直线QF的交点在抛物线C上三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲
6、线x24-y25=1的右焦点重合,则实数p的值为.14.一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是.15.如图,在ABC中,AB=4,点E为AB的中点,D为线段AB垂直平分线上的一点,且DE=35,AB是固定边,在平面ABD内移动顶点C,使得ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点,且C、D在直线AB的异侧,在移动过程中,当CD-CA取得最大值时,ABC的面积为.16.已知F是抛物线y2=2px(p1)的焦点,N(p,1),M为抛物线上任意一点,MN+MF的最小值为3,则p=;若过F的直线交抛物线于A、B两点,且AF=2FB,则AB=.(第
7、一个空2分,第二个空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(1)求与双曲线x216-y24=1有相同焦点,且经过点(32,2)的双曲线的标准方程;(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=32,求m的值.18.(本小题满分12分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点坐标为(-2,0),离心率为32,直线y=-x+m与椭圆交于不同的两点A、B.(1)求椭圆M的方程;(2)设点C(-2,2),是否存在实数m,使得ABC的面积为1?若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.19.(本小题
8、满分12分)已知椭圆x225+y216=1内有一点P(1,1),F为椭圆的右焦点,M为椭圆上一点.(1)求MP-MF的最大值;(2)求MP+MF的最大值;(3)求使得MP+53MF的值最小时点M的坐标.20.(本小题满分12分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),离心率为12,短轴长为23.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设左、右顶点分别为A、B,点M在椭圆上(异于点A、B),求kMAkMB的值;(3)过点F2作一条直线与椭圆C交于P,Q两点,过P,Q作直线x=a2c的垂线,垂足分别为S,T.试问:直线PT与QS是否交于定点?若是,求出
9、该定点的坐标;若不是,请说明理由.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,0),过动点P作直线x=-4的垂线,垂足为M,且AMAP=-4.记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点A的直线l交曲线E于不同的两点B,C.若B为线段AC的中点,求直线l的方程;设B关于x轴的对称点为D,求ACD的面积S的取值范围.22.(本小题满分12分)已知半椭圆y2a2+x2b2=1(y0,ab0)和半圆x2+y2=b2(y0)组成曲线L.如图所示,半椭圆内切于矩形ABCD,CD与y轴交于点G,点P是半圆上异于A,B的任意一点.当点P位于点M63,-33处时,AGP的面积最
10、大.(1)求曲线L的方程;(2)连接PC,PD,分别交AB于点E,F,求证:AE2+BF2为定值.答案全解全析基础过关练一、单项选择题1.C由抛物线的定义可知,点A与抛物线焦点F之间的距离为5+p2=8,解得p=6,因此,抛物线的焦点到准线的距离为6,故选C.2.C设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).依题意得,2a=10,a=5,又c=3,b2=a2-c2=16,即b=4,因此椭圆的短轴长是2b=8,故选C.3.D由题意得PF1+PF2=2a,|PF1-PF2|=2m,两式平方后相减,得4PF1PF2=4a2-4m2,PF1PF2=a2-m2,故选D.4.B由已知得点P的轨迹
11、是以A(-2,0),B(2,0)为焦点的双曲线的右支,其中2a=2,即a=1,c=2,则b=3,所以点P是双曲线x2-y23=1的右支上的一点.又P为函数y=34-x2图象上的点,所以联立方程x2-y23=1,y=34-x2,解得x=132,y=332或x=-132,y=332(舍去),所以P132,332,故选B.5.A由抛物线x2=2py(p0)可知其焦点为0,p2,所以b=p2,又a=22,所以双曲线方程为x28-4y2p2=1,渐近线方程为y=p42x.直线y=kx-1与双曲线的一条渐近线平行,不妨设k=p42,由y=p42x-1,x2=2py可得x2=2pp42x-1=p222x-2
12、p,即x2-p222x+2p=0,则=-p2222-8p=0,解得p=4.故选A.6.C由题意得,a=4,b=23,由双曲线的定义可得AF2-AF1=2a=8,BF2-BF1=2a=8,所以AF2+BF2-(AF1+BF1)=16,由于过双曲线的左焦点F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,可得AF1+BF1=AB,当AB是双曲线的通径时,AB最小,即有AF2+BF2-(AF1+BF1)=AF2+BF2-AB=16,所以AF2+BF2=AB+162b2a+16=2124+16=22,故选C.7.C设另一焦点为F,连接AF,BF,CF,则四边形FAFC为平行四边形,AF=CF=AB,且AFAB,则
13、ABF为等腰直角三角形.设AF=AB=x,则x+x+2x=4a,即x=(4-22)a,AF+AF=2a,AF=(22-2)a.在AFF中,由勾股定理得AF2+AF2=(2c)2,则(9-62)a2=c2,即e2=9-62,e=6-3,故选C.8.A双曲线x2-y23=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),又P12,t,直线PA的方程为x=3y2t-1,PB的方程为x=-y2t+1,联立x=3y2t-1,3x2-y2=3可得274t2-1y2-9yt=0,解得y=0或y=36t27-4t2,将y=36t27-4t2代入x=3y2t-1可得x=27+4t227-4t2,即M27+4t2
14、27-4t2,36t27-4t2,联立x=-y2t+1,3x2-y2=3可得34t2-1y2-3ty=0,解得y=0或y=12t3-4t2,将y=12t3-4t2代入x=-y2t+1,可得x=-3-4t23-4t2,即N-3-4t23-4t2,12t3-4t2.设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,即有yM-yNxM-xN=yNxN-s,将M,N的坐标代入,化简可得-12t9-4t2=12t-3-4t2-s(3-4t2),解得s=2,即Q(2,0),设过Q的直线方程为x=my+2,联立3x2-y2=3,x=my+2得(3m2-1)y2+12my+9=0,设S(x1,y1),
15、T(x2,y2),可得y1+y2=-12m3m2-1,y1y2=93m2-1,=144m2-36(3m2-1)0恒成立,又SQ=2QT,y1=-2y2,y1+y2=-y2=-12m3m2-1,可得y2=12m3m2-1,y1y2=-2y22=-2144m2(3m2-1)2=93m2-1,解得m2=135,可得SBST=12BQ|y1-y2|=12|y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=3m2+1|3m2-1|=3135+11-335=93516.故选A.二、多项选择题9.ACD由已知得,2b=2,即b=1,ca=63,又a2=b2+c2,a2=3,椭圆方程为y23+x2=1,则PQ=
16、2b2a=23=233,PF2Q的周长为4a=43,故选ACD.10.ABC设抛物线y=ax2(a0)的焦点为F.由y=ax2(a0)得,x2=1ay,则焦点F0,14a.a0,2p=1a,p=12a,其准线方程为x=-14a,P0,-14a,A正确;设切线方程为y=kx-14a(k0),由y=ax2,y=kx-14a得ax2-kx+14a=0,令=k2-4a14a=0,解得k=1.切点A12a,14a,B-12a,14a,因此直线AB的方程为y=14a,B正确;又PA=12a,12a,PB=-12a,12a,PAPB=-14a2+14a2=0.从而PAPB,即PAPB,C正确;AB=12a-
17、12a=1a,D错误.故选ABC.11.AD由双曲线方程y22-x2=1知a=2,b=1,焦点在y轴上,渐近线方程为y=abx=2x,A正确;c=a2+b2=3,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=3,B错误;由x2+y2=3,y=2x得x=1,y=2或x=-1,y=-2,由x2+y2=3,y=-2x得x=1,y=-2或x=-1,y=2,所以M点的横坐标是xM=1,C错误;SMF1F2=12F1F2|xM|=12231=3,D正确.故选AD.12.ACD如图,过P作PA准线l于A,过Q作QB准线l于B,过PQ的中点C作CD准线l于D,则CD=12(PA+QB)=12(PF+QF)=12PQ
18、,故以线段PQ为直径的圆与准线l相切,A正确;过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线包括两条切线和x轴所在直线,B错误;如图,过P作PA准线l于A,过T作TH准线l于H,准线方程为x=-2,PT+PF=PT+PAHT=3,当H,P,T共线时等号成立,C正确;设Py028,y0,Qy028,-y0,M(-2,0),F(2,0),则直线PM的方程为y=y0y028+2(x+2),直线QF的方程为y=-y0y028-2(x-2),两直线的交点为32y02,16y0,代入满足抛物线方程,故D正确.故选ACD.三、填空题13.答案6解析双曲线的方程为x24-y25=1,a2=4,b2=5,可得c=a2
19、+b2=3,因此双曲线x24-y25=1的右焦点为F(3,0),抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线的右焦点重合,p2=3,解得p=6.14.答案x29+y25=1解析圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,则其半径为6.如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),与定圆B的切点为C.由图知,定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆心的距离,即BC-MC=BM,又BC=6,所以BM+CM=6,因为MA=MC,所以BM+MA=6,由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a=3,c=2
20、,b=a2-c2=5,所以所求圆心M的轨迹方程是x29+y25=1.15.答案65解析以AB所在直线为x轴,DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-2,0),B(2,0),D(0,-35),设ABC的内切圆切AC、AB、BC分别于G、H、F,则CA-CB=AG-BF=AH-HB=20).CA-CB=2,CA=CB+2,则CD-CA=CD-CB-2,则当C为线段BD与双曲线右支的交点时,CD-CA最大,BD所在直线的方程为x2-y35=1,即35x-2y-65=0.联立35x-2y-65=0,x2-y23=1,解得yC=35,ABC的面积为S=12435=65.故答案为65.16.
21、答案2;92解析过点M作MP垂直于抛物线y2=2px(p1)的准线l,垂足为点P,p1,122p2,点N在抛物线内,如图所示:MN+MF=MN+MP,当点P、M、N共线时,MN+MF取得最小值p+p2=3,解得p=2,抛物线的标准方程为y2=4x,该抛物线的焦点为F(1,0).设点A(x1,y1),B(x2,y2),可知直线AB不与x轴重合,设直线AB的方程为x=my+1,联立x=my+1,y2=4x,可得y2-4my-4=0,由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4,AF=2FB,(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),y1=-2y2,y1+y2=-y2=4m,可得y2=-4m
22、,y1y2=-2y22=-32m2=-4,可得m2=18,因此,AB=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=4(1+m2)=92.故答案为2;92.四、解答题17.解析(1)所求双曲线与双曲线x216-y24=1有相同焦点,设所求双曲线的方程为x216-y24+=1(-40),(6分)m-mm+3=m(m+2)m+30,mmm+3,(8分)a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3,由e=32得m+2m+3=32,解得m=1.(10分)18.解析(1)椭圆的一个顶点坐标为(-2,0),a=2,又该椭圆的离心率为ca=32,可得c=3,b=a2-c2=1
23、,(2分)椭圆M的方程为x24+y2=1.(4分)(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=-x+m,x24+y2=1,消去y并整理得5x2-8mx+4m2-4=0,由=64m2-45(4m2-4)=16(5-m2)0,得-5m0,存在m=102,使得ABC的面积为1.(12分)19.解析(1)由题意得a2=25,b2=16,所以c2=9,即F(3,0),当点M,F,P三点不共线时,MP-MF0,解得-12k12且k0.设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=2k,y1y2=4. (5分)因为B为线段AC的中点,所以y2=2y1.又y1+y2=2k,所以y1=23k,y
24、2=43k, 因此y1y2=89k2=4,所以k=23,符合-12k12且k0,所以直线l的方程为y=23(x+2). (8分)因为点B,D关于x轴对称,所以D(x1,-y1),于是点D到直线l的距离d=|kx1+y1+2k|1+k2.因为y1=k(x1+2),所以d=2|y1|1+k2. 又AC=1+k2|x2+2|,所以S=121+k2|x2+2|2|y1|1+k2=|(x2+2)y1|=y222+2y1.(10分)因为y1y2=4,y1+y2=2k,所以S=|2y2+2y1|=4|k|. 又因为-12k8,即ACD的面积S的取值范围为(8,+).(12分)22.解析(1)因为点M在半圆上
25、,所以b2=632+-332=1,又b0,所以b=1.当半圆在点M处的切线与直线AG平行时,AGP的面积最大.因为kOM=-22,所以kAG=ab=2,又b=1,所以a=2,(2分)所以曲线L的方程为y22+x2=1(y0)和x2+y2=1(y0).(4分)(2)证明:由题意得C(1,2),D(-1,2),设P(x0,y0)(y00),则lPC:y-2y0-2=x-1x0-1,令y=0,得x=2x0-y02-y0,即E2x0-y02-y0,0,(6分)lPD:y-2y0-2=x+1x0+1,令y=0,得x=2x0+y02-y0,即F2x0+y02-y0,0,(8分)又A(-1,0),B(1,0),x02+y02=1,所以AE2+BF2=2x0-y02-y0+12+2x0+y02-y0-12=(2x0-2y0+2)2+(2x0+2y0-2)2(2-y0)2=4x02+8y02-82y0+4(2-y0)2=4.所以AE2+BF2为定值4.(12分)