1、专题强化练3椭圆与双曲线的综合应用一、选择题1.()已知双曲线x2m-y2n=1(mn0)和椭圆x25+y24=1有相同的焦点,则1m+4n的最小值为()A.2B.4C.6D.92.(2021福建莆田第一中学高二上学期期中,)已知水平地面上有一篮球,球的中心为O,在斜平行光线的照射下,其阴影为一椭圆(如图),在平面直角坐标系中,椭圆中心O为原点,设椭圆的方程为x24+y22=1,篮球与地面的接触点为H,则OH的长为()A.62B.2C.32D.1033.(2020江苏南通高二下学期期末,)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点F向其一条渐近线l:y=12x作垂线,垂足为E,
2、O为坐标原点,若OEF的面积为1,则C的焦距为()A.-5B.3C.25D.54.(2021江苏南京田家炳高级中学高二上学期10月检测,)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,0),以及动点C是ABC的三个顶点,且sin Asin B+cos C=0,则动点C的轨迹的离心率是()A.3B.2C.32D.225.(2020江苏盐城建湖上冈高级中学高二上学期期中,)双曲线C:x2a2-y2=1(a0)的右焦点为F,点P为C的一条渐近线上的点,O为坐标原点,若PO=PF,则SOPF的最小值为()A.14B.12C.1D.26.(多选)(2021江苏镇江扬中第二高级中学高二上学期期初检测,)
3、已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为5B.C的离心率为306C.圆D在C的内部D.PQ的最小值为2557.(多选)(2021江苏南通如东高级中学、泰州高级中学高二上学期11月联考,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且PF1=2PF2,若sinF1PF2=154,则下列结论正确的是()A.e=6B.e=4C.b=5aD.b=3a8.(2021江苏扬州宝应中学高二上学期期中,)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭
4、圆于D、E两点,DF1=5F1E,DF2=2,且DF2x轴.若点P是圆O:x2+y2=1上的一个动点,则PF1PF2的取值范围是()A.3,5B.2,5C.2,4D.3,49.(2021江苏南通如皋高二上学期期中,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上,AFFB=0,3BF=FC且点C在双曲线上,则双曲线的离心率为()A.2B.102C.3D.210.(2021江苏常州北郊高级中学高二上学期期中,)我们通常称离心率是5-12的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),A1,A2,B1,B
5、2分别为左、右、上、下顶点,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是()A.A1F1A2F2=F1F22B.F1B1A2=90C.PF1x轴,且POA2B1D.四边形A1B2A2B1的一个内角为60二、填空题11.(2021江苏无锡梅村高级中学高三上学期期初检测,)设椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点在椭圆上,若PF1F2是直角三角形,则PF1F2的面积为.12.(2021江苏南通海安高二上学期期中,)F1,F2分别是椭圆C:x264+y29=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,PF1=10,过F1作F1PF2的平分线的垂线,垂足为M,
6、则OM的长为.三、解答题13.(2020山西太原高二期末,)命题p:方程x22m-y2m-6=1表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:方程x2m+1+y2m-1=1表示双曲线.(1)当命题p为真命题时,求m的取值范围;(2)当命题q为假命题时,求m的取值范围;(3)当命题p和命题q有且只有一个为真命题时,求m的取值范围.14.(2021江苏镇江高二上学期期中,)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为8,一条准线的方程为x=1677,与椭圆C1共焦点的双曲线C2,其离心率是椭圆C1的离心率的2倍.(1)分别求椭圆C1和双曲线C2的标准方程;(2)过点M(4,1)的直线l与双曲线C2交
7、于P,Q两点,且M为线段PQ的中点,求直线l的方程.专题强化练3椭圆与双曲线的综合应用一、选择题1.D椭圆x25+y24=1的焦点坐标为(1,0),m+n=1,1m+4n=1m+4n(m+n)=1+nm+4mn+4=5+nm+4mn,m,n0,nm0,4mn0,nm+4mn2nm4mn=4当且仅当nm=4mn,即n=23,m=13时取等号,1m+4nmin=5+4=9.故选D.2. B在照射过程中,椭圆的短半轴长是圆的半径,连接OA、OB,易知OAB+OBA=12(AAB+BBA)=12180=90,AOB=90,又O是AB的中点,球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长,连接OO、OH,易知OH
8、O为直角三角形,在RtOHO中,OO2=OH2+OH2,OH=a2-b2=4-2=2,故选B.3.C不妨设F(c,0)(c0),则其到渐近线l:x-2y=0的距离EF=|c|12+(-2)2=55c,在RtOEF中,OE=OF2-EF2=c2-c25=255c,所以SOEF=12EFOE=1255c255c=15c2=1,所以c=5,所以椭圆C的焦距为25.故选C.4.D由sin Asin B+cos C=0可得sin Asin B-cos(A+B)=0,即sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=0,即2sin Asin B=cos Acos B,所以tan Atan
9、 B=12,所以kACkBC=-12,设C(x,y),所以yx+1yx-1=-12,即x2+y212=1(x1),所以a2=1,b2=12,则c2=a2-b2=12,则轨迹的离心率e=ca=22.故选D.5.B由题意知,双曲线C:x2a2-y2=1(a0)的一条渐近线为y=1ax,设F(c,0),P(xp,yp),因为PO=PF,所以点P的横坐标为xp=c2,代入渐近线方程可得yp=c2a,所以点P的坐标为c2,c2a,所以SOPF=12cc2a=c24a=a2+14a=a4+14a2a414a=12,当且仅当a4=14a时,即a=1时,等号成立,所以SOPF的最小值为12.故选B.6.BC由
10、x26+y2=1可知a2=6,b2=1,c2=5,则焦距2c=25,离心率e=ca=56=306.设P(x,y),易知圆心D(-1,0),半径r=55,则PD=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56x+652+4515,故圆D在C的内部,当PD取最小值45时,PQ的最小值为45-15=55.故选BC.7.ACDPF1=2PF2,由双曲线定义可知PF1-PF2=PF2=2a,PF1=4a.由sinF1PF2=154,得cosF1PF2=14,在PF1F2中,由余弦定理可得cosF1PF2=4a2+16a2-4c222a4a=14,解得c2a2=4或c2a2=6,c=2a或c=6a,b
11、=3a或b=5a,e=2或e=6,故选ACD.8.A由题意可知D(c,2),E-75c,-25,将D,E的坐标代入椭圆方程得c2a2+2b2=1,49c225a2+225b2=1,解得a2=8,b2=4,所以椭圆方程为x28+y24=1,所以椭圆的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).由P在圆x2+y2=1上,设P(cos ,sin ),所以PF1PF2=(cos+2)2+sin2(cos-2)2+sin2=25-16cos23,5,所以PF1PF2的取值范围为3,5.故选A.9.B设B(x,y),则A(-x,-y),设F(c,0),C(m,n),则BF=(c-x,-y),FC=(m-c,n
12、).3BF=FC,3(c-x)=m-c,-3y=nm=4c-3x,n=-3y,即C(4c-3x,-3y).易得AF=(c+x,y),AFFB=(c+x,y)(x-c,y)=0,即c2=x2+y2.又点B、C均在双曲线上,x2a2-y2b2=1,(4c-3x)2a2-(-3y)2b2=1.由可得a2+2c2=3a2c2-a2,两边同时除以a2可得1+2e2=32e2-1,两边同时平方,得(1+2e2)2=9(2e2-1),即2e4-7e2+5=0,(2e2-5)(e2-1)=0,又双曲线的离心率e1,e2=52,即e=52=102.故选B.10.B易知A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,
13、b),B2(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0).对于A,若A1F1A2F2=F1F22,则(a-c)2=(2c)2,a-c=2c,e=13,不满足条件,故A不符合条件;对于B,若F1B1A2=90,则A2F12=B1F12+B1A22,(a+c)2=a2+a2+b2,c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故B符合条件;对于C,若PF1x轴,且POA2B1,则P-c,b2a,kPO=kA2B1,b2a-c=b-a,解得b=c,a2=b2+c2,a=2c,e=ca=c2c=22,不满足题意,故C不符合条件;对于D,若四边形A1B2A2B1的一个
14、内角为60,则三角形A1B2B1是等边三角形,a=3b,e2=1-b2a2=1-13=23,解得e=63,故D不符合条件.故选B.二、填空题11.答案32解析由椭圆方程得a=2,b=3,c=1,设B是短轴的一个端点,则F1BF2=60,因此PF1与PF2不可能垂直,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限,PF2F1F2,则P1,32,故PF2=32,又F1F2=2c=2,SPF1F2=12232=32.12.答案2解析延长F1M交PF2的延长线于点N,如图所示:由椭圆C:x264+y29=1可得a=8,由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=16,又PF1=10,所以PF2=6.易得PNMPF1M,
15、所以PN=PF1=10,所以NF2=PN-PF2=10-6=4,易得OM为F1F2N的中位线,所以OM=12NF2=2.三、解答题13.解析(1)根据题意,得m-60,-(m-6)2m,解得0m2,故m的取值范围为(0,2).(2)若命题q为真命题,则(m+1)(m-1)0,解得-1m1,故命题q为假命题时,m的取值范围为(-,-11,+).(3)当p真、q假时,有0m2,m-1或m1,解得1m2;当p假、q真时,有m0或m2,-1m1,解得-1b0)的长轴长为2a=8,则a=4, 一条准线的方程为x=1677,则a2c=1677,解得c=7,所以b=a2-c2=16-7=3,故椭圆C1的标准
16、方程为x216+y29=1,离心率e1=ca=74.设双曲线的标准方程为x2a12-y2b12=1(a10,b10),则c2=7=a12+b12,由题意可知双曲线的离心率为72,则72=7a1,解得a1=2,所以b1=c2-a12=7-4=3,所以双曲线C2的标准方程为x24-y23=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x124-y123=1,x224-y223=1, 两式作差可得14(x1+x2)(x1-x2)-13(y1+y2)(y1-y2)=0,即148(x1-x2)-132(y1-y2)=0,即y1-y2x1-x2=3,所以直线l的斜率为3,所以直线l的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.
