1、2.12.3综合拔高练五年高考练考点1点与圆的位置关系1.(2020北京,5,4分,)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7考点2直线与圆的位置关系2.(2020全国,5,5分,)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A.55B.255C.355D.4553.(2020全国,10,5分,)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+124.(2020全国,6,5分,)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线
2、被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.45.(2019浙江,12,6分,)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.考点3圆的方程的综合应用6.(2020全国,11,5分,)已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=07.(2018课标全国,8,5分,)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点
3、P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,328.(2018江苏,12,5分,)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD=0,则点A的横坐标为.考点4圆的方程在实际生活中的应用9.(2019江苏,18,16分,)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到
4、直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.三年模拟练应用实践1.(2020山东烟台莱州一中高二期中,)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则OAB的外接圆的方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2
5、)2=202.(2020江苏赣榆高级中学高二月考,)已知圆O:x2+y2=4上恰有三个点到直线l:y=x+b的距离等于1,则实数b的值为()A.2或-2B.2或-2C.-2或-2D.-2或23.(2020江苏泰州姜堰中学高二期中,)设点M(3,4)在圆O:x2+y2=r2(r0)外,若圆O上存在点N,使得OMN=3,则r的取值范围是()A.52,+B.532,+C.532,5D.52,54.(2020江苏泰州靖江高级中学期中,)平面上的两个向量OA和OB,|OA|=cos ,|OB|=sin ,0,2,OAOB=0,若向量OC=OA+OB(,R),且(2-1)2cos2+(2-1)2sin2=
6、14,则|OC|的最大值为()A.32B.34C.35D.375.(多选)()设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kN*).下列四个命题中为真命题的是()A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点6.(多选)(2020山东潍坊高二期中,)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y+m=0,则下列结论正确的是()A.当m=2时,直线l与圆C相交B.Q(x1,y1)为圆C上的点,则(x1-1)2+(y1-22)2的最大值为9C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1,则m的取值范围是(
7、2,32)D.若直线l上存在一点P,圆C上存在两点A、B,使APB=90,则m的取值范围是-4,47.(2020江苏常州高级中学高二期中,)2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆组成“卡通鼠”的形象,如图所示,其中Q(0,-3)是圆Q的圆心,圆Q过坐标原点O;点L、S均在x轴上,圆L与圆S的半径都等于2,圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O,若直线l被圆L、圆S、圆Q所截得的弦长均等于d,则d=.8.(2020上海杨浦高级中学高二期中,)定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比,叫作直线关于圆的距离比,记作.已知圆C1:x2+y2=1,直线l:3x-4y+m=0.(1)若
8、直线l关于圆C1的距离比=2,求实数m的值;(2)当m=0时,若圆C2与y轴相切于点A(0,3),且直线l关于圆C2的距离比=65,试判断圆C1与圆C2的位置关系,并说明理由.9.(2020山东潍坊一中高二期中,)如图,已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求直线PQ的斜率以及直线PQ与圆C的相交弦PE的长度;(2)若N(x,y)是直线x+y+1=0上任意一点,过N作圆C的切线,切点为A,当切线长NA最小时,求点N的坐标,并求出这个最小值;(3)若M(a,b)是圆上任意一点,求b-3a+2的最大值和最小值.迁移创新10.(2020广
9、东佛山一中高二上期中,)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:(1)如图,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B(8,-4)处运动,求母球A的球心运动的直线方程;(2)如图,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B
10、后,使目标球B向B(8,-4)处运动?(3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(42,0)可以向能碰到目标球C(72,-52)的方向运动,求a的最小值(只需要写出结果即可). 图 图2.12.3综合拔高练五年高考练1.A设圆心为A(x,y),由已知得(x-3)2+(y-4)2=1,即A在以(3,4)为圆心,1为半径的圆上,所以圆心A到原点的距离的最小值为(3-0)2+(4-0)2-1=5-1=4.故选A.2.B设圆心为P(x0,y0),半径为r,圆与x轴,y轴都相切,|x0|=|y0|=r,又圆经过点(2,1),x0=y0=r且(2-x0)2+(1-y0)2=r2,(r
11、-2)2+(r-1)2=r2,解得r=1或r=5.r=1时,圆心P(1,1),则圆心到直线2x-y-3=0的距离为|2-1-3|22+(-1)2=255;r=5时,圆心P(5,5),则圆心到直线2x-y-3=0的距离为|10-5-3|22+(-1)2=255.故选B.3.D由选项知直线l的斜率为2或12,不妨假设为2,设直线l与曲线y=x的切点为P(x0,y0),则12x0-12=2,解得x0=116,则y0=14,即P116,14,显然点P在圆x2+y2=15内,不符合题意,所以直线l的斜率为12,又直线l与圆x2+y2=15相切,所以只有D项符合题意,故选D.4.B由x2+y2-6x=0得
12、圆心为(3,0),设此点为C,点(1,2)为A,当过点A的弦与AC垂直时,弦长最小,易知|AC|=22+(1-3)2=22,因为半径,半弦长,弦心距三者所在的直线围成直角三角形,所以弦的长度的最小值为232-(22)2=2,故选B.5.答案-2;5解析设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2,kAC=m+10+2=-12,解得m=-2,C(0,-2),r=|AC|=(0+2)2+(-2+1)2=5.6.D如图,由题可知,ABPM,|PM|AB|=2S四边形APBM=2(SPAM+SPBM)=2(|PA|+|PB|),|PA|=|PB|,|PM|AB|=4|PA|=4|PM|2-|AM|
13、2=4|PM|2-4,当|PM|最小时,|PM|AB|最小,易知|PM|min=54+1=5,此时|PA|=1,ABl,设直线AB的方程为y=-2x+b(b-2),圆心M到直线AB的距离d=|3-b|5,|AB|=4|PA|PM|=45,d2+AB22=|MA|2,即(3-b)25+45=4,解得b=-1或b=7(舍去).综上,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.7.A圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为|2+2|2=22,圆的半径为2,设点P到直线的距离为d,则dmin=22-2=2,dmax=22+2=32,又易知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22
14、,(SABP)min=12|AB|dmin=12222=2,(SABP)max=12|AB|dmax=122232=6.ABP面积的取值范围是2,6.故选A.8.答案3解析设A(a,2a),a0,D(xD,yD),则Ca+52,a,圆C的方程为x-a+522+(y-a)2=(a-5)24+a2,由x-a+522+(y-a)2=(a-5)24+a2,y=2x,可得xD=1,yD=2,ABCD=(5-a,-2a)-a-32,2-a=a2-2a-152+2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横坐标为3.9.解析解法一:(1)过A作AEBD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为
15、矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PBAB,所以cosPBD=sinABE=810=45.所以PB=BDcosPBD=1245=15.因此道路PB的长为15百米.(2)不能,理由如下:若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE2+ED2=10,从而cosBAD=AD2+AB2-BD22ADAB=7250,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP
16、90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,
17、点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34.因为PBAB,所以直线PB的斜率为-43,直线PB的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15百米.(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4x4).在线段AD上取点M3,154,因为OM=32+154232+42=
18、5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a4),得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,
19、d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.三年模拟练1.A由题意知,O、A、B、P四点共圆,所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1),其半径r=12|OP|=5,所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,故选A.2.A圆O:x2+y2=4,直线l:y=x+b,圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1,圆心O(0,0)到直线l:y=x+b的距离d=1,|b|2=1,解得b=2或b=-2.故选A.3.C如图所示:若圆O:x2+y2=r2(r0)上存在点N,使得OMN=3,则OMN的最大值大于或者等于3时,一定存在点N,使得OMN=3,当MN与圆相切时,OMN取得最大值,此时OM=5,在Rt
20、ONM中,sinOMN=ONOM=ON532,解得ON532,即r532,又M(3,4)在圆外,所以32+42r2,解得r5.综上所述,532rd,Ck含于Ck+1之中,选项A错误;当k无限增大时,可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;将(0,0)代入圆Ck的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(kN*),因为等号左边为奇数,等号右边为偶数,所以不存在k使此式成立,即所有圆均不经过原点,选项D正确.故选BD.6.AD对于A选项,当m=2时,直线l的方程为x+y+2=0,圆C的圆心为C(0,0),圆心C到直线l的距离d=22=22,则直线l与圆C相交,A选项正
21、确;对于B选项,点Q与点(1,22)之间的距离的最大值为(0-1)2+(0-22)2+2=5,所以(x1-1)2+(y1-22)2的最大值为25,B选项错误;对于C选项,当圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1时,如图所示:由于圆C的半径为2,因此圆心C到直线l的距离d满足|2-d|1,解得1d3,即1|m|23,解得-32m-2或2m0),则a2+32=2+3,所以a=4,即S(4,0),则L(-4,0).由题意知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx+m(k0),点L,S,Q到该直线的距离分别为d1,d2,d3,则d1=|-4k+m|k2+1,d2=|4k+m|k2+1,d3=
22、|3+m|k2+1,则d2=4(4-d12)=4(4-d22)=4(9-d32),即4-|-4k+m|k2+12=4-|4k+m|k2+12=9-|3+m|k2+12,解得m=0,k2=421,则d2=44-164211+421=14425,所以d=125(负值舍去).8.解析(1)由题意得|m|5=2,解得m=10.(2)当m=0时,直线l的方程为3x-4y=0,设C2:(x-a)2+(y-3)2=a2,则|3a-12|5|a|=65,解得a=-4或a=43.当a=-4时,C2:(x+4)2+(y-3)2=16,则两圆的圆心距d1=5,两圆的半径之和为1+4=5,因此两圆外切;当a=43时,
23、C2:x-432+(y-3)2=169,则两圆的圆心距d2=43-02+(3-0)2=973,两圆的半径之和为1+43=73,因此两圆外离.9.解析(1)将点P(m,m+1)代入圆C的方程,得m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,所以m=4,故P(4,5),故直线PQ的斜率k=5-34-(-2)=13,因此直线PQ的方程为y-5=13(x-4),即x-3y+11=0,将圆C的方程化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8,则圆心C(2,7),圆C的半径r=22,则圆心C(2,7)到直线PQ的距离d=|2-37+11|10=4105,所以PE=2r2-d2=28-41052=41
24、05.(2)NA=NC2-r2=NC2-8,当NC最小,即NCl时,NA最小,NCmin=|2+7+1|2=52,易得过点C且与直线x+y+1=0垂直的直线的方程为x-y+5=0,N(-3,2).(3)b-3a+2表示直线MQ的斜率k,当直线MQ为圆C的切线时,斜率取得最值.设直线MQ的方程为b-3=k(a+2),即ka-b+2k+3=0.当直线MQ与圆相切时,圆心到直线MQ的距离为|2k-7+2k+3|k2+1=22,两边平方并整理,得(4k-4)2=8(k2+1),解得k=2-3或k=2+3.所以b-3a+2的最大值和最小值分别为2+3和2-3.10.解析(1)过点B(4,0)与点B(8,
25、-4)的直线方程为x+y-4=0, 由题意知,A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2.设A,B两球碰撞时球A的球心坐标为A(a,b),则有a+b-4=0,(a-4)2+b2=2,a0,b0,解得a=4-2,b=2,即A,B两球碰撞时球A的球心坐标为A(4-2,2),所以母球A运动的直线方程为y=24-2x=22+17x.(2)不能.如图,由(1)知,A(4-2,2),又A(0,-2),B(4,0),所以AA=(4-2,2+2),BA=(-2,2),所以AABA=(4-2,2+2)(-2,2)=4-220,故AAB为锐角.所以点B(4,0)到线段AA的
26、距离小于2,故球A的球心未到直线BB上的点A之前就会与球B碰撞.故不能让母球A击打目标球B后,使目标球B向B(8,-4)处运动.(3)a的最小值为-22.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A处撞击目标球B后,目标球B从目标球C的右上方B1处撞击目标球C.如图所示, 设B1(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有BB1B1C,|B1C|=2,即(x-42)(x-72)+y(y+52)=0,(x-72)2+(y+52)2=4,所以x=82,y=-42,B1(82,-42),直线CB1的倾斜角为45,直线AB的倾斜角为135,易得A(32,2).过A(32,2)作倾斜角为45的直线,交y轴于点A,易得A(0,-22),若a-22,则母球A会在到达A之前就与目标球B碰撞,不符合题意.因此a的最小值为-22.
