1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释.3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.1.众数、中位数、平均数(1)众数:在一组数据中,出现次数_的数据叫做这一组数据的众数.(2)中位数:将一组数据按_依次排列,把处在_位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数:假设样本数据是x1,x2,xn,表示这组数据的平均数,则=_.最多大小最中间x12nx
2、xxnx2.方差、标准差假设样本数据是x1,x2,x3,xn,是平均数,则(1)方差是s2=_.(2)标准差为s=_.22212n1xxxxxxn22212n1xxxxxxnx1.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A.平均数中位数众数B.平均数中位数众数C.中位数众数平均数D.众数=中位数=平均数【解析】选D.平均数为 =50,中位数为50,众数为50,都相等.40082.一组样本数据按从小到大的顺序排列为12,15,20,x,23,28,30,50,其中,中位数为22,则x=()A.21 B.15 C.22 D.35【解析】
3、选A.因为共有八个数,因此,当按从小到大的顺序排列 后,中位数等于最中间两数的平均数,即x+23=222,解得x=21.3.设x1=4,x2=5,x3=6,则该样本的标准差为 .【解析】由 =5得 s=答案:x222123126xxxxxx.33363一、众数、中位数、平均数的应用初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.根据下图回答下列问题:探究1:通过频率分布直方图可以看出众数在哪个区域内?提示:从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数在最高的矩形的区域内,即2,2.5).探究2:如何从频率分布直方图中估计中
4、位数呢?提示:在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.探究3:如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值?提示:平均数是频率分布直方图的“重心”,是直方图的平衡点,因此,每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数.【探究总结】对众数、中位数、平均数的三点说明(1)众数通常用来表示样本数据的最大集中点,容易计算.但是它只能表达样本数据中很少的一部分信息,因为它忽视了其他数据信息.(2)中位数不受少数几个极
5、端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响,容易计算,它仅利用了中间数据的信息.(3)平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也越大.二、标准差与方差根据方差和标准差的公式思考下面的问题.22212n222212n1sxxxxxxn1sxxxxxx.n，探究1:标准差、方差的取值范围是什么?标准差、方差为0的样本数据有什么特点?提示:标准差、方差的取值范围均为0,+).标准差、方差为0时,样本各数据全相等,都等于样本平均数.表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.探究2:标准差的大小对数据的离散程度有何影响?提示:标准差越大,表明各数据的离散程度就越大;反之,标准差越小,表
6、明各数据的离散程度就越小.它用来描述样本数据的离散程度.在实际应用中,标准差常被理解为稳定性.【探究总结】1.方差的三点运算性质假设一组数据x1,x2,xn的平均数为,方差为s2,则(1)新数据x1+b,x2+b,xn+b的平均数为+b,方差仍为s2.(2)新数据ax1,ax2,axn的平均数为a ,方差为a2s2.(3)新数据ax1+b,ax2+b,axn+b的平均数为a +b,方差为a2s2.xxxx2.数字特征的选择当样本数据质量比较差时,使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置,可能与实际情况产生较大的误差,难以反映样本数据的实际状况,此时需要一个新的统计量标准差(方差)刻画样本数据
7、的离散程度.在实际应用中,常综合样本的多个统计数据,对总体进行估计,为解决问题做出决策.类型一 众数、中位数、平均数的应用 1.(2014石家庄高一检测)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是()A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,532.高一(2)班有男生27名,女生21名,在一次物理测试中,男生的平均分是82分,中位数是75分,女生的平均分是80分,中位数是80分.(1)求这次测试全班平均分(精确到0.01).(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少人?(3)分析男
8、生的平均分与中位数相差较大说明了什么?【解题指南】1.根据茎叶图的特点和众数、中位数、极差的定义可得出结果.2.根据各种数的定义及意义解决问题.【自主解答】1.选A.直接列举求解.由题意知各数为 12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=56.2.(1)由平均数公式得 =(8227+8021)81.13(分).(2)因为男生的中位数是75分,所以至少有14人得分不超过75分.又因为女生的
9、中位数是80分,所以至少有11人得分不超过80分.所以全班至少有25人得分不超过80分.(3)男生的平均分与中位数的差别较大,说明男生中两极分化现象严重,得分高的和得分低的相差较大.x148【规律总结】1.中位数的求法(1)当数据个数为奇数时,中位数是按大小顺序排列的中间那个数.(2)当数据个数为偶数时,中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数.2.数据特征的分析 如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.所以,应当深刻理解和把握平均数、中位数
10、、众数在反映样本数据上的特点,并结合实际情况,灵活应用.【变式训练】如图是某班学生在一次数学考试中的成绩的频率分布直方图.根据直方图估计其成绩的众数是 ,中位数是 ,平均数是 .【解析】由频率分布直方图可知，其众数为 75 设中位数为x，由图知0.01100.0210(x70)0.03 0.5，所以x 平均数为(550.01650.02750.03850.025950.015)1076.5 答案:75 76.5 70 80223032303类型二 标准差、方差的应用 1.(2014福州高一检测)若a1,a2,a20这20个数据的平均数为,方差为0.20,则a1,a2,a20,这21个数据的方差
11、约为 .x2.(2013长春高一检测)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲 82 81 79 78 95 88 93 84乙 92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据.(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【解题指南】1.由平均数和方差的定义直接求解.2.先画出茎叶图,再利用平均数和方差结合的形式分析稳定性.【自主解答】1.答案:0.19 2222212201saxaxaxxx211420 0.200.19.21212.(1)作出茎叶图如
12、下：(2)派甲参赛比较合适.理由如下：（702+804+902+8+9+1+2+4+8+3+5）=85，（701+804+903+5+0+0+3+5+0+2+5）=85，（78-85）2+（79-85）2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2=35.5,(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2=41,因为 所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.1x8甲1x8乙21s8甲21s8乙22xxss甲乙甲乙，【规律总结】1.标准差的
13、性质(1)全组数据每一数据都加上一个相同的常数C后计算得到的标准差不变.(2)若每一数据值都乘以一个相同的非零常数C,则所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数的绝对值.(3)每个数据值都乘以同一个非零常数C,再加上另一个常数d,所得数据的标准差等于原标准差乘以这个常数的绝对值.2.计算标准差的五个步骤 第一步:算出样本数据的平均数 ;第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,n);第三步:算出(xi-)2(i=1,2,n);第四步:算出(xi-)2(i=1,2,n)这n个数的平均数,即为样本 方差s2;第五步:算出方差的算术平方根,即为样本标准差s.xxxx【拓展延伸】方差的
14、两种化简形式 方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在应用时注意其公 式 的两个简化形式:其中x1=x1-a,x2=x2-a,xn=xn-a,a是接近原数据平均数的一个常数.22212n2xxxxxxsn（）2222212n1s(xxx)nx;n2222212n1s(xxx)nxn ，【变式训练】皮划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度（m/s）的数据如下：甲27，38，30，37，35，31.乙33，29，38，34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁最优秀.【解析】（27+38+30+37+35+31）=33，（33+29+38+34+28+36）=33，（
15、27-33）2+（38-33）2+（30-33）2+（37-33）2+（35-33）2+（31-33）2=（-6）2+52+（-3）2+42+22+（-2）2=，(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2=（-4）2+52+12+(-5)2+32=1x6甲1x6乙21s6甲1647321s6乙1638.3所以 说明二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定.故乙比甲更优秀，即乙最优秀.22xx,ss甲乙甲乙，类型三 由频率分布表或直方图求数字特征 1.(2013黄冈高二检测)某行业从2013年开始实施绩效工资改革,为了解该行业职工
16、工资收入情况,调查了1 000名该行业的职工,并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,由图可知中位数为 元.现要从这1 000人中再用分层抽样的方法抽出100人做进一步调查,则月收入在3 500,4 000)(元)内应抽出 人.2.已知一组数据:125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128(1)填写下面的频率分布表:分组频数频率120.5,122.5)122.5,124.5)124.5,126.5)126.5,128.5)128.5,130.5合计(2)作出频率分布直方图.(3
17、)根据频率分布直方图求这组数据的众数、中位数和平均数.【解题指南】1.根据频率分布直方图求解中位数,求出月收入在3 500,4 000)的频率,计算应抽取的人数.2.先由频数分别求出各组的频率,完成频率分布表,画出频率分布直方图,再由频率分布直方图中数字特征的意义作答.【自主解答】1.设中位数为x,可知(x-3 000)0.000 5=0.2,x=3 400,由图3 500,4 000)(元)收入段的频率是 0.000 5500=0.25,故用分层抽样方法抽出100人做进一步 调查,在3 500,4 000)(元)收入段应抽出人数为0.25100=25.答案:3 400 25 2.(1)分组
18、频数 频率 120.5,122.5)2 0.1 122.5,124.5)3 0.15 124.5,126.5)8 0.4 126.5,128.5)4 0.2 128.5,130.5 3 0.15 合计 20 1(2)(3)在124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作 为众数的近似值,得众数为125.5.又因为前两个小矩形的频率和为0.25.所以设第三个小矩形底边的一部分长为x.则x0.2=0.25,得x=1.25.所以中位数为124.5+1.25=125.75.使用“组中值”求平均数为 121.50.1+123.50.15+125.50.4+127.50.2+129.5 0.1
19、5=125.8.【规律总结】利用频率分布直方图求数字特征的方法(1)众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标.(2)中位数左右两侧直方图的面积相等.(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(4)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.【变式训练】某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图,求:(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数.(2)高一参赛学生的平均成绩.【解析】(1)根据直方图得第一、二、三、四、五组的频率分 别为:0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.用频率分布直方图中最高矩 形所在的区间的中点值作为众数的近似值,得众数为65.又因为 第一个小矩形的面积为0.3,所以设第二个小矩形底边的一部分 长为x,则x0.04=0.2,得x=5,所以中位数为60+5=65.(2)依题意,平均成绩为550.3+650.4+750.15+850.1+950.05=67,所以平均成绩约为67.